Ejercicio de Calculo integral como lo resuelvo
Me pueden indicar por favor como resuelvo este ejercicio.
Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.
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Para trabajar con el resorte es necesario conocer su constante de recuperación k, da lo mismo que lo expresemos en cualquier unidad de fuerza entre otra de longitud siempre que después usemos esas mismas medidas
La fuerza que ejerce el resorte es
F=-kx
Que es igual pero de sentido contrario a la que ejercemos nosotros porque el resorte se ha quedado parado en 1/2 pulgada
F=-k·(1/2)pulgada + 20 libras/pulgada = 0
k·(1/2) pulgada = 20 libras/pulgada
k = 40 libras
El trabajo es la integral del producto escalar de la fuerza por la diferencial del desplazamiento
$$\begin{align}&T=\int_a^b\vec F·\vec{dr}\\&\\&\text{en cada punto x deberemos ejercer una} \\&\text {fuerza kx para que el resorte llegue hasta x}\\&\text{Respecto al producto escalar }\cos \alpha=1\\&\text{Las 8 pulgadas son el x=0 de estiramiento}\\&\text{Y las 11 son el x=3}\\&\\&T=\int_0^3 40xdx=20x^2\bigg|_0^3=20·9=180\, libras·pulgada=\\&\\&\text{1 libra de fuerza}=4.4482216152548 N\\&\text{1pulgada=0.0254m}\\&\\&=180\,·\,4.4482216152548N\,·\,0.0254m =20.33726922 \,J\end{align}$$Y eso es todo.
