Como determinar las constantes a y b de una funcion f(x)=ax+b para que esta sea continua ?

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Los trozos de la función son sementos de recta, luego los únicos puntos problemáticos son aquellos donde termina uno y empieza otro

En el punto x=-1 deberemos conseguir que el límite por la derecha sea 2 y en x=3 que el límite por la izquierda sea 2

Esto se consigue si hacemos que el valor de la función f(x)=ax+b en esos puntos sea el de esos límites

f(-1) = 2 ==> a(-1)+b = 2

f(3)=-2 => a·3 + b = -2

Que son estas dos ecuaciones

 -a + b = 2

3a + b = -2

Si a la segunda le restamos la primera tendremos

4a = -4

a=-1

y yando a la primera

-(-1) + b = 2

1+b=2

b=1

Luego la solución es:

a=-1

b=1

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Y eso es todo.

Para que la función sea continua, debe valer

$$\begin{align}& x = -1 \rightarrow f(x) = 2 (para\ que\ sea\ continua\ en\ el\ primer\ corte\ de\ la \ funcion\\& x = 3 \rightarrow f(x) = -2 (para\ que\ sea\ continua\ en\ el\ segundo \ corte\ de\ la \ funcion\\&De\ lo\ anterior\ surge\ que\\&f(-1) = 2 = a(-1) + b\\&f(3) = -2 = a(3) + b\\&Haciendo\ f(-1) - f(3)\\&4 = -a - 3a\\&4 = -4a\\&a = -1\\&reemplazando\ en\ f(-1)\\&2 = (-1)(-1) + b\\&2 = 1 + b\\&b = 1\\&Por\ lo\ tanto\ la\ recta\ es\\&f(x) = -x + 1 ( si \ -1 < x < 3)\\&\\&\end{align}$$