¿Cómo se resuelven los siguientes ejercicios de cálculo integral?
- En no más de un párrafo explica con tus propias palabras el teorema del valor medio para las integrales.
- Explica en no más de un párrafo para qué es útil el teorema del valor medio para las integrales.
- Hallar el valor medio de la función sobre el intervalo dado.
$$\begin{align}&f(x)=9+x^2,[-3,3]\\&\\&f(x)=sen x ,[0,π]\\&\end{align}$$
- Determinar el (los) valor(es) de c cuya existencia es garantizada por el teorema del valor medio para integrales en el intervalo indicado.
$$\begin{align}&f(x)=\cos x ,[-( π)⁄3,( π)⁄3]\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Dada una función continua en un intervalo cerrado, existe un punto en el que el valor de la función por la longitud del intervalo es lo mismo que la integral de la función en es intervalo.
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A lo mejor en tu libro dice porque es útil, yo no lo recuerdo. Solo que siempre puede venir bien saber cual es el promedio de una función en un intervalo, es el equivalente a la media de varios valores.
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$$\begin{align}&\int_{-3}^3(9+x^2)dx= \left[9x+\frac{x^3}{3} \right]_{-3}^3=\\&\\&27+9+27+9=72\\&\\&\text{valor medio}= \frac{72}{3-(-3)}=\frac{72}{6}=12\\&\\&--------------------\\&\\&\int_0^\pi sen\,x\; dx= -\cos x\bigg|_0^\pi=-(-1)-(-1) = 2\\&\\&\text{valor medio}=\frac 2\pi\approx 0.6366197724\\&\\&--------------------\\&\\&\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos x\; dx= senx\bigg|_{-\pi/3}^{\pi/3}=\frac {\sqrt{3}}{2}-\bigg( \frac{\sqrt 3}2\bigg)=\sqrt 3\\&\\&\text{Valor medio }\frac{\sqrt 3}{\frac{2\pi} 3}=\frac{3 \sqrt 3}{2\pi}\approx 0.826993343\end{align}$$Y eso es todo, esperoque te sirva y lo hayas entendido.
