Hallar la gráfica de la elipse definida como función

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Para dibujar una elipse lo que conviene es transformarla en su ecuación canónica

$$\begin{align}&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\end{align}$$

Entonces el mayor de los números a o b indicará cuál es el eje en el que están los focos

Si a>b los focos estarán en el eje horizontal y si no en el eje vertical.

Si a<b hay que cambiar las letras de un denomindor a otro y seria (y-k)^2 quien tendria la a^2 debajo

A será el semieje mayor

B el semieje menor

(h, k) el centro

El focos estarán a distancia c del centro en el eje mayor, donde

c^2 = a^2-b^2

Vamos a deducir la forma canónica. Para ello es necesario conocer una técnica que se denomina completar cuadrados

$$\begin{align}&\text{Si tenemos una expresión}\\&\\&x^2 + bx\\&\\&\text{podemos ponerla como}\\&\\&\bigg(x + \frac b2\bigg)^2 - \bigg(\frac b2\bigg)^2\\&\\&\text{ya que esa expresión vale}\\&\\&x^2 + 2·\frac b2x+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}=x^2+bx\\&\\&\text{también sirve para b negativo}\\&\\&\text {La elipse es}\\&\\&25x^2+16y^2+100x-96y-156=0\\&\\&25(x^2+4x)+16(y^2-6y)-156=0\\&\\&\text{ completamos cuadrados}\\&\\&25\left((x+2)^2-4\right)+16\left((y-3)^2-9\right)=156\\&\\&25(x+2)^2-100+16(y-3)^2-144 = 156\\&\\&25(x+2)^2+16(y-3)^2 = 400\\&\\&\frac{25(x+2)^2}{400}+\frac{16(y-3)^2}{400}=1\\&\\&\frac{(x+2)^2}{\frac{400}{25}}+ \frac{(y-3)^2}{\frac{400}{16}}=1\\&\\&\frac{(x+2)^2}{16}+ \frac{(y-3)^2}{25}=1\\&\\&\frac{(x+2)^2}{4^2}+\frac{(y-3)^2}{5^2}=1\\&\\&\text{el semieje mayor es el vertical}\end{align}$$

Luego los focos estarán alineados verticamente.  Y ya hemos visto que el centro está en

(h, k) = (-2, 3)

Los semiejes miden 5 el vertical y 4 el horizontal

Y los focos estarán en vertical a distancia

$$\begin{align}&c=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\\&\\&\end{align}$$

Y con todos esos datos ya se puede hacer la gráfica.  Yo voy a hacerla con Geogebra y así me sirve de comprobación de que hice bien las cuentas.

Y eso es todo.