Me corrigen este ejercicio de razòn de cambio?
Una esferea de gas se expande sin perde su forma, ¿de modo que su volumen aumenta a razòn de 25 cm3/min. Con que rapidez esta aumentando su radio en el instante que este mide 2.5 cm?
Bueno el profesor todavia no nos ha enseñado esto, pero yo me adelantè un poquito y me puse a mirar en internet, hice este ejercicio pero no sè si està bien ò mal, porque me diò un valor muy alto, ¿por favor me corrigen? Gracias.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No me suena lo que has hecho.
$$\begin{align}&\text{Por la regla de la cadena}\\&\\&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}·\frac{dr}{dt}\\&\\&25=\frac d{dr}\left(\frac 43 \pi r^3\right)·\frac{dr}{dt}\\&\\&25=4\pi r^2 ·\frac{dr}{dt}\\&\\&\frac {dr}{dt}=\frac{25}{4\pi r^2}\\&\\&\frac{dr}{dt}\bigg|_{r=2.5}=\frac{25}{4\pi·2.5^2}=\frac 1\pi\approx\\&\\&0.3183\;cm/min\\&\\&Comprobación\\&V(2.5) = 65.44984695\\&V(2.8183) = 93.76705393\\&\\&\text{Han salido más de 25 de diferencia}\\&\text{porque la razón no va a ser 0.3183}\\&\text{todo ese minuto que hemos contado,}\\&\text{sino que disminuirá y el radio al minuto}\\&\text{no será 2.8183 sino menos, de forma que}\\&\text{habrá exactamente 25 cc más}\end{align}$$Y eso es todo.
