Como resuelvo este ejercicio integral?
$$\begin{align}&\int sec^3 t . Tg^5tdt=\end{align}$$Gracias.
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Será necesario saber y aplicar un par de cosas.
$$\begin{align}&1)\quad sec^2x=1+tg^2x\implies tg^2x=sec^2x-1\\&\\&2)\quad(sec \;x)' = sec\,x·tg\,x\\&\\&\\&\int sec^3t·tg^5t \;dt=\\&\\&\int sec^2t·tg^4 t·sec\,t·tg\,t\;dt=\\&\\&\text {lo ponemos todo en función de la secante}\\&\\&=\int sec^2t\,(sec^2t-1)^2sec\,t·tg\,t\;dt=\\&\\&u=sect\\&du=sect·tg\,t\;dt\\&\\&=\int u^2(u^2-1)^2du=\\&\\&\int u^2(u^4-2u^2+1)du=\\&\\&\int(u^6-2u^4+u^2)du=\\&\\&\frac{u^7}{7}-\frac{2u^5}{5}+\frac{u^3}{3}+C=\\&\\&\frac{sec^7t}{7}-\frac{2sec^5 t}{5}+\frac{sec ^3 t}{3}+C\end{align}$$