Como se hacen los ejercicios de distribución binominal
No se como se hacen los ejercicios de distribución binominal desearía saber como se hacen, tengo este problema :
Un agente de seguros vende pólizas a 5 personas de la misma edad y tienen buena salud, según las tablas actuales la probabilidad de que una persona de estas condiciones viva 30 años o más es 2/3, hállese la probabilidad de que transcurridos 30 años vivan :
1.-Las 5 personas
2.- Al menos 3 personas
3.- Exactamente 2 personas
La fórmula de la binomial es esta
$$\begin{align}&\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\&\\&\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!*(n-x)!}\\&\end{align}$$El ! indica el factorial de un número.
Ej: Si ponemos 4! sería como hacer 1*2*3*4=24
n= número total de personas
x=número cualquiera de personas
p=probabilidad en este caso 2/3
a) Hay que sustituir el x por el 5
$$\begin{align}&\binom{5}{5}*(2/3)^5*(1-2/3)^{5-5}=\\&1*0.1316*1=0.1316\\&\end{align}$$b) En este caso es la probabilidad es de que sean 3, 4, o 5 personas
Las probabilidades se acumulan de izquierda a derecha, por así decirlo, un ejemplo:
P(x>=3)=1-P(x<3)=>P(3,4,5)=P(0,1,2,3,4,5)-P(0,1,2)
El P(0,1,2) quiere decir la probabilidad acumulada hasta el 2
La probabilidad de vivan más de 3 personas es lo mismo que decir que es la probabilidad de que vivan todos, el 1, menos, menos de 3 personas, o sea la probabilidad de que sobrevivan 2 personas o menos
$$\begin{align}&\binom{5}{2}*(2/3)^2(1-2/3)^{5-2}=\\&\frac{5!}{3!*2!}*0.444*(1/3)^3=\\&10*0.444*0.037=0.1646\\&1-0.1646=0.8354\\&\\&\end{align}$$c)P(x=2)=P(0,1,2)-P(0,1).
La probabilidad de que sobrevivan 0 personas, 1 persona o 2 personas menos la probabilidad de que sobrevivan 0 personas o 1 persona.
$$\begin{align}&\binom{5}{2}*(2/3)^2(1-2/3)^{5-2}=\\&10*0.444*0.037=0.1646\\&\\&\binom{5}{1}*(2/3)^1(1-2/3)^{5-1}=\\&5*0.666*0.123=0.041\\&\\&\end{align}$$Calculamos la diferencia 0.1646-0.041=0.1236
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Una distribución binomial es la suma de n variables independientes que pueden tener resultado 0 ó 1. A la probabilidad de 1 (éxito) se le llama p, y asi la distribución se denota de esta forma
B(n, p)
Lo que debes entender y conocer de memoria es la fórmula de probabilidad
$$\begin{align}&P(k) = \binom nkp^k(1-p)^{n-k}\end{align}$$P(k) es la probabilidad de exactamente k exitos, la B(n,p) tendrá valor k. Con eso y un poco de lógica y práctica se resuelve cualquier problema.
1) Que vivan las 5 personas. Debe haber 5 exitos, k=5
$$\begin{align}&P(5)=\binom 55\left(\frac 23 \right)^5\left(\frac{1}{3}\right)^0=1·\frac{32}{243}·1=\\&\\&\frac{32}{243}\approx 0.1316872428\end{align}$$2) Al menos tres personas. Eso supone que vivan 3, 4 ó 5. Se calculan esas tres probabilidades y se suman, una de ellas ya está.
$$\begin{align}&P(3)=\binom 53\left(\frac 23 \right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5·4·3}{3·2·1}·\frac{8}{27}·\frac{1}9=\\&10·\frac{8}{243}=\frac {80}{243}\\&\\&\\&P(4)=\binom 54\left(\frac 23 \right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^1=5·\frac{16}{81}·\frac{1}3=\frac{80}{243}\\&\\&\\&P(5)=\binom 55\left(\frac 23 \right)^5\left(\frac{1}{3}\right)^0=1·\frac{32}{243}·1=\frac{32}{243}\\&\\&\\&\\&P(\ge3)=P(3)+P(4)+P(5)=\frac{80+80+1}{243}=\\&\\&\frac{161}{243}= 0.6625514403\end{align}$$3) Exactamente 2
$$\begin{align}&P(2)=\binom 52\left(\frac 23 \right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^3=\\&\\&\frac{5·4}{2·1}·\frac{4}{9}·\frac{1}{27}=10·\frac{4}{243}=\\&\\&\frac{40}{243}\approx0.1646090535\end{align}$$
(n r)=n!/n!(n-r)!
¡Gracias! todo mucho mas facil de lo que parece :) , solo me quedo una sobre la distribucion binomial aprendi esta formula
$$\begin{align}&(n r)=n!/n!(n-r)!\end{align}$$que se supone que tambien tiene que ver con la distribucion binomial pero para que es ? y como se usa ???
Ya no sé qué tendré que hacer para que me votes Excelente. Si en semejante ejercicio como el que he hecho no votas Excelente ya no espero nada de ti y no contestaré más preguntas tuyas. Si quieres puedes cambiar la puntuación.
Sobre lo del
$$\begin{align}&\binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&\\&\text{a mi también me enseñaron}\\&\\&\binom nr=\frac{V_n^r}{P!}=\frac{n·(n-1)(n-2)···(n-r+1)}{r!}\\&\end{align}$$donde el numerador tiene r factores.
Hay un principio fundamental en la realización de operaciones. No hagas nunca una multiplicación si luego tengas que dividir por lo mismo
Entonces si tú lo haces como dices
$$\begin{align}&\binom 52= \frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5·4·3·2·1}{(2·1)(3·2·1)}=\frac{120}{2·6}=\frac {120}{12}=10\\&\\&\text{has hecho muchas más operaciones que con}\\&\\&\binom 52=\frac{5·4}{2·1}=\frac{20}{2}=10\end{align}$$
El b) lo has hecho mal. O bien lo haces como yo P(>=3)= P(3)+P(4)+P(5) o bien lo haces como P(>=3) = 1- P(<=2) = 1-(P(0)+P(1)+P(2)) pero no como 1-P(2) que es lo que has hecho. Saludos. - Valero Angel Serrano Mercadal