Demuestra el siguiente problema de grupos y elementos conjugados
Si G es cualquier grupo, dados los elementos
$$\begin{align}&a, b ∈G\end{align}$$Diremos que a es conjugado si existe otro elemento
$$\begin{align}&g∈G\end{align}$$Tal que
$$\begin{align}&a=gbg^{-1}\end{align}$$Demuestre que es una relación de equivalencia.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
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Hay que probar que es reflexiva, simétrica y transitiva.
$$\begin{align}&Reflexiva: a = 1·a·1^{-1}\\&\\&Simétrica: \\&Si \;a\to b\\&a= g\,b\,g^{-1}\implies\\&g^{-1}a=b\,g^{-1}\implies\\&g^{-1}a(g^{-1})^{-1}=b\implies\\&b\to a\\&\\&Transitiva:\\&Si \;a\to b\quad y \quad b\to c\\&a=g\,b\,g^{-1} \quad y \quad b =h\,c\,h^{-1}\implies\\&a=g(h\,c\,h^{-1})g^{-1} =(gh)c(h^{-1}g^{-1})=\\&(gh)c(gh)^{-1}\implies\\&a\to c\\&\end{align}$$Y eso es todo.
