Encuentre el orden del grupo cociente dado. A)Z_6/〈3〉 b)(Z_4 xZ_2/〈(2,1)〉 c)(Z_2 xZ_4/〈(1,1)〉
Necesito asesoría para estos incisos maestro, gracias.
Encuentre el orden del grupo cociente dado.
a)Z_6/〈3〉
b)(Z_4 xZ_2/〈(2,1)〉
c)(Z_2 xZ_4/〈(1,1)〉
1 respuesta
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Si G es un grupo finito y N un subgrupo el orden de G/N es
|G/N| = |G|/|N|
Debemos por tanto calcular el orden de los grupos y subgrupos
a)
|Z_6/<3>| = |Z_6| / |<3>| =
el orden de Z_6 es 6, es el grupo {0,1,2,3,4,5}
El orden de <3> es 2, sus elementos son {0,3}
luego el orden es
= 6/2 = 3
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b)
|Z_4 xZ_2 / 〈(2,1)〉| = |Z_4xZ_2| / |<(2,1)>|=
Z_4xZ_2 es un producto cartesiano de un grupo de 4 elementos con otro de 2, su orden es 4·2 = 8
los elementos de <(2,1)> son
<(2,1)> = {(0,0), (2,1)}
son dos elementos. Luego el orden del grupo cociente es
= 8/2 = 4
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c)
|Z_2xZ_4 / 〈(1,1)〉| = |Z_2xZ_4| / |〈(1,1)〉|=
el grupo Z_2xZ_4 es un producto cartesiano, su oreden es 2·4=8
El grupo generado por (1,1) es el dado por las sumas reiteradas de (1,1) hasta 4 sumas en donde se llega al elemento neutro.
<(1,1)> = {(1,1), (0,2), (1,3), (0,0)}
luego tiene 4 elementos. Y el orden del conjunto cociente es
=8/4 = 2
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Y eso es todo.
¡Gracias! Excelente respuesta maestro, esta seguramente viene en el examen final, por eso quería estar segura de tener una respuesta bien hecha.
