Problema con ejercicio de continuidad con dos variables
Hola, tengo un problema con el siguiente ejercicio
$$\begin{align}&(3x^2y) / (x^2+y^2)\\&\\&\end{align}$$Como se ve la funcion no es continua en (0,0) y tengo que saber si se puede redefinir la funcion para que sea continua.
Calculo el limite por limite direccional tomando y = mx y me da cero .
Lo calculo también por Limites reiterados y me da cero. ¿Pero según la teoría no puedo afirmar que el limite es cero verdad?. ¿Cómo hago?.
Saludos
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Hay algunos teoremas o se puede calcular por definición consiguiendo desigualdades adecuadas
$$\begin{align}&|x^2+y^2| \ge |x^2|\implies\\&\\&\bigg|\frac{1}{x^2+y^2}\bigg|\le \bigg|\frac 1{x^2}\bigg|\implies\\&\\&\bigg|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\bigg|\le\bigg|\frac {3x^2y}{x^2} \bigg|=|3y|\\&\\&\text{dado }\epsilon \gt 0\; tomaremos \;\delta=\frac{\epsilon}{3}\text entonces\;si\\&\\&\sqrt{x^2+y^2}\lt\delta=\frac {\epsilon}{3}\implies\\&\\&|y|\le \sqrt{x^2+y^2}\lt \frac {\epsilon}{3}\implies\\&\\&|3y|=3|y|\lt3·\frac{\epsilon}{3}=\epsilon\implies\\&\\&\bigg|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\bigg|\le|3y|\lt\epsilon\implies\\&\\&\bigg|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}-0\bigg|\lt\epsilon\implies\\&\\&\lim_{(x,y)\to(0,0)}{\frac {3x^2y}{x^2+y^2}}=0\end{align}$$He escrito todos los pasos pero desde el momento que llegué a que el módulo de la función era menor que |3y| ya estaba hecho y lo demás eran formalismos.
Y eso es todo.
