¿Cómo resolver las integrales por sustitución trigonométrica?

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La segunda lleva bastante trabajo y merece ir sola en una pregunta.

Haré la primera.

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\\&\\&x=3sent \implies t =arcsen \frac x3\\&dx=3costdt\\&\\&=\int \frac{3 cost}{\sqrt{9-9sen^2t}}dt=\\&\\&\int \frac{3 \cos t }{3· \sqrt{1-sen^2 t}}dt=\\&\\&\int \frac{3cost}{3 \sqrt{\cos^2t}}dt=\int \frac{3 cost}{3cost}dt=\\&\\&\int dt=t+C = arc sen \frac x3+C\end{align}$$

Esta integral se podría haber hecho mucho más rápido calculándola directamtne con algunos pequeños ajustes de constantes, pero como has dicho que se debía hacer con cambio trigonométrico ha sido un poco más largo.

Y eso es todo.