¿Cómo se resuelve el siguiente ejercicios de álgebra analítica?

Aquí lo haré de una forma, si lo quieres de la otra tendrás que mandar otra pregunta, no son métodos cortos precisamente, el de Gauss a mano a lo mejor no pero aquí lleva mucho trabajo de escritura.

Calcularemos la matriz de adjuntos. Cada uno es el determinante que resulta al quitar una fila y columna, pero además debe ir multiplicado por 1 o por -1 según si la suma de coeficientes es par o impar, y para colmo el adjunto Aij no es el de quitar la fila i y columna j sino la fila j y columna i. Aquí para no liarse lo mejor es calcular los adjuntos de la fila y columna donde estamos y luego se transpone la matriz obtenida. Y finalmente deben ir divididos por el determinante de la matriz completa.

Calculamos primero el determinante

0+0-12-0+8+3=-1

Y ahora los adjuntos.

Por ejemplo, en el lugar 11 calculamos el determinante

|0   3|

|-1  2| = 0·2 -3(-1) = 3

como 1+1=2 es par se queda con ese signo

En el lugar 12 calculamos el determinante

|-2  3|

| 0  2 |  = -2·2 - 0.3 = -4

pero como 1+2=3 es impar lo multiplicamos por -1 y queda 4

En el lugar 13 calculamos

|-2  0|

| 0 -1| = (-2)(-1) -0·0 = 2 

como 1+3 es par se queda con ese signo

Y así se haría con los 9 elementos quedando

3   4   2

2   2   1

6   9   4

Pero esta no es la auténtica matriz de adjuntos, tal como lo hemos hecho la matriz de adjuntos es la transpuesta

3   2   6

4   2   9

2   1   4

Y ahora hay que dividir cada elemento entre el determinante que es -1 luego la matriz inversa es

-3   -2   -6

-4   -2   -9

-2   -1   -4

Y eso es todo.