Como resolver una integral compuesta de tangentes

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¡Ojalá fuera así de sencillo como parece!

Pero el desarrollo que ha hecho Lucas encierra un punto oscuro:

integral de secx = ln |secx+ tgx|

Eso ni es obvio, ni inmediato, ni es nada fácil de resolver.

Para resolver esta integral voy a usar el cambio trigonométrico general o universal. Es un poco raro pero hay literatura sobre él. Aquí tienes como la diferencial de x y el seno y el coseno tras este cambio, lo usaré sin tener que dar explicaciones yo.

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_trigonomet.htm

$$\begin{align}&\int sec\,x\;dx=\int \frac{dx}{\cos x} =\\&\\&tg \frac x2=t\qquad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad dx=\frac {2dt}{1+t^2}\\&\\&=\int \frac{1+t^2}{1-t^2}·\frac{2}{1+t^2}dt\\&\\&=\int \frac{2dt}{1-t^2}=\int \left(\frac{a}{1+t}+\frac {b}{1-t}  \right)dt=\\&\\&a-at+b+bt=2\\&a+b=2\\&-a+b=0\\&\text{\sumándolas}\\&2b=2\implies b=1\implies a=1\\&\\&=\int \frac{dt}{1+t}+\int \frac{dt}{1-t}=\\&\\&ln|1+t|-ln|1-t|+C=\\&\\&ln\bigg|1+tg \frac x2   \bigg|-ln\bigg| 1-tg \frac x2 \bigg|+C=\\&\\&\text{Y la integral ya estaría hecha, pero vamos a llegar}\\&\text{a la que han puesto}\\&\\&ln\left|\frac{1+tg \frac x2}{1-tg \frac x2}  \right|+C=ln \left|\frac{\left(1+tg \frac x2\right)^2}{1-tg^2 \frac x2}\right|+C=\\&\\&ln\left|\frac{\frac{(\cos \frac x2+sen \frac x2)^2}{\cos^2 \frac x2}}{\frac{\cos^2 \frac x2-sen^2 \frac x2}{\cos^2 \frac x2}}  \right|+C=\\&\\&ln\left|\frac{1+2cos \frac x2sen \frac x2}{\cos x}\right|+C=\\&\\&ln\left|\frac{1+sen\,x}{\cos x}  \right|+C=ln\left|sec\,x+tg\,x  \right|+C\end{align}$$

Y eso es todo.