Probar que si p sub k (lo denotare p_k) es el k-esimo primo positivo entonces: p_k+1 <= p_1*p_2* ... P_k+1
Debo hacer esta demostración pero no estoy seguro como. Supongo que es por inducción. De divisibilidad vi teorema fundamental de la aritmética, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, primos, coprimos entre otros.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
Es sencillo, el producto de todos los primos hasta cierto primo incrementado o decrementado en una unidad o es un número primo o indica que hay un número primo entre medias del primo mayor del producto y el producto
$$\begin{align}&p_{k+1}=p_1p_2·p_3···p_k+1\\&\\&p_{k+1} \ \text{no puede tener como factor primo}\\&\text{ninguno de los anteriores porque el cociente}\\&\text{sería entero}\\&\\&m=\frac{p_{k+1}}{p_j} = p_1·p_2···p_{j-1}·p_{j+1}···p_k+\frac{1}{p_j}\\&\\&\text{pero el miembro derecho no es entero}\\&\text{ya que } \frac 1{p_j} \text{ no lo es}\end{align}$$Entonces pueden darse dos casos. Si hay primos entre p_k y ese producto+1 habrá algún primo menor. Y si no hay primos entre medias entonces ese producto+1 será primo, ya que ninguno de los primos de p_1 a p_k puede dividirle, con lo cual se cumplirá la parte del igual de la desigualdad.
·
Y eso es todo.
