Ejercicio de máximos, mínimos o puntos de inflexión
Hallar, si existen, máximos, mínimos, puntos de inflexión o asíntotas.
$$\begin{align}&b)f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}\end{align}$$
2 respuestas
$$\begin{align}&y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}\\&\\&Domf(x)=R \Rightarrow No \ tiene \ Asíntotas \ Verticales\\&\\&\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=+\infty \Rightarrow No \ tiene Asíntotas \ Horizontales\\&\\&y'=\frac{2x \sqrt{x^2+4}-\frac{2x^3}{2 \sqrt{x^2+4}}}{x^2+4}=\frac{2x(x^2+4)-x^2}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x^3+8x}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}\\&\\&y'=0 \Rightarrow x^3+8x=0\\&x(x^2+8)=0\\&x=0\\&Criterio \ de \ derivada \ primera\\&y'(0^-)=y'(-1)=\frac{-1-8}{+}<0 \Rightarrow \ decreciente\\&y'(0^+)=y'(1)=\frac{1+8}{+}=\frac{+}{+}>0 \Rightarrow creciente\\&x=0 \ es \ mínimo\\&\\&f(0)=0\\&(0,0)Mínimo\\&\\&y''=\frac{(3x^2+8)(x^2+4)^{\frac{3}{2}}-(x^3+8)\frac{3}{2}(x^2+4)^{\frac{1}{2}}2x}{(x^2+4)^3}=\\&\\&\frac{(3x^2+8)(x^2+4)-(x^3+8)\frac{3}{2}2x}{(x^2+4)^\frac{5}{2}}=\frac{3x^4+12x^2+8x^2+32-3x^4-24x}{(x^2+4)^\frac{5}{2}}=\\&\\&\frac{20x^2-24x+32}{(x^2+4)^\frac{5}{2}}=0\\&20x^2-24x+32=0\\&x=\not \exists solucion \Rightarrow no \ tiene \ P.I.\end{align}$$Graficando
·
No existen asíntotas verticales u horizontales. Pero si existe una asíntota oblicua porque
$$\begin{align}&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=L \neq 0 \text{ y finito}\\&\\&\text{la pendiente es}\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac 4{x^2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{0+1}}=1\\&\\& \text{y la constante b es}\\&\\&b=\lim_{x\to\pm\infty} f(x)-mx=\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}-x=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-x \sqrt{4+x^2}}{\sqrt{4+x^2}}=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-x \sqrt{4+x^2}}{\sqrt{4+x^2}}·\frac{x^2+x \sqrt{4+x^2}}{x^2+x \sqrt{4+x^2}}=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^4-(x \sqrt{4+x^2})^2}{\sqrt{4+x^2}(x^2+x \sqrt{4+x^2})}=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^4-4x^2-x^4}{x^2 \sqrt{4+x^2}+x(4+x^2)}=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-4x^2}{x^2 \sqrt{4+x^2}+4x+x^3}=\\&\\&\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-4}{\sqrt{4+x^2}+\frac 4x+x}=\frac{-4}{\infty+0+\infty}=\frac{-4}{\infty}=0\\&\\&\\&\end{align}$$Luego después de calcular ese límite que no sé por qué ha salido tan díficil resulta que la asintonta oblicua es la recta
y=x
Tengo que dejarlo, luego vuelvo a terminarlo.
Espera, que ahora que veo la gráfica veoq ue no hay una sino dos asíntotas oblicuas, calculé mal el límite, en infinito era m=1 pero en -infinito era m=-1
Luego la arreglo todo, la parte de máximos y mínimos no la hago ya que te la han hecho.
Vamos a solucionar eso que estaba mal. Nos fijamos que la función es par f(x)=f(-x), luego es simétrica respecto al eje Y. Entonces solo calcularemos la asíntota oblicua en +infinito y en -infinito la asíntota será la recta simétrica respecto al eje Y. No voy a repetir lo mismo que ya hice. Simplemente en vez de poner +- infinito en los límites pon solo +infinito y se deduce que la asíntota oblícua en + infinito es la recta
y=x.
Por lo tanto en -infinito la asíntota es la recta simetrica respecto del eje Y que es
y=-x
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Con respecto a lo del mínimo podrías darle también este enfoque. La función es siempre no negativa ya que el numerador es un cuadrado y el denominador una raiz cuadrada, ambas funciones no negativas.
Entonces si hubiera un punto donde la función valiese 0 sería un mínimo absoluto. Y en efecto, para x=0 la función vale 0, luego la función tiene un mínimo en (0,0)
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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides puntuarnos.