Como mostrar que R^2 con la metrica del taxi tiene los mismos conjuntos abiertos que R^2 con la metrica usual

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Los abiertos son los conjuntos en los que todos sus puntos son interiores. Y un punto es interior a un conjunto A si existe una bola que contiene ese punto y la bola está contenida en A.

Entonces vamos a demostrar que si hay una bola usual que cumple eso también hay una bola de la métrica del taxi que lo cumple y viceversa. Con lo cual los puntos interiores serán los mismos para una y otra métrica y los cojuntos abiertos con una también lo serán con la otra.

La bola usual es el círculo de radio r

$$\begin{align}&B_u((x_0,y_0),r) =\bigg\{(x,y) \bigg| \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\lt r\bigg\}\\&\\&B_t((x_0,y_0),r)=\bigg\{(x,y) \bigg||x-x_0|+|y-y_0|\lt r\bigg\}\end{align}$$

La bola del taxi tiene forma de rombo, de rombo con las dos diagonales de igual tamaño

Dada una bola usual de radio r, la bola del taxi de radio r es el rombo inscrito en el círculo, luego un punto interior por lmétrica usual tambien lo es por la del taxi.

Y dada una bola del taxí de radio r vamos a fabricar una usual que esté contenida dentro, para ello construimos la circunferencia inscrita en el rombo, será la tangente en los puntos medios de los lados. Estos puntos medios tienen coordenadas (r/2, r/2) relativas al punto (xo, yo) están a una distancia

$$\begin{align}&\sqrt{\left(\frac r2  \right)^2+\left(\frac r2  \right)^2}=\sqrt{\frac {r^2}4+\frac {r^2}4}=\frac{r \sqrt 2}{2}\end{align}$$

Tomando ese radio tendremos una bola usual interna a la bola del taxí.  Luego si (xo,yo) es interno para una bola del taxi existirá una bola usual par la cual también lo sea.

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Intuitivamente es muy sencillo. Dentro de un circulo siempre puedes meter un rombo y dentro de un rombo un círculo.