Sea G el conjunto de todas las matrices reales 2x2 ((a b@0 d)) donde ad≠0. Probar que G forma un grupo bajo la multiplicación d
Tenemos que G es el conjunto de todas las matrices reales dos por dos
Donde ad es diferente de 0. Aquí, lo que se intenta probar es que G forma un grupo bajo la multiplicación de matrices. Entonces, me pregunto, es posible que G sea un grupo abeliano, en caso de que sea positivo o negativo, ¿por qué?
$$\begin{align}&((a b@0 d)) \end{align}$$
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Yo creo quee ste ejercicio no es para probar una por una las propiedades sino para partiendo de que las matrices nxn con determinante no nulo, con el producto son un grupo, demostrar que este conjunto que nos dan es un subgrupo de él.
El teorema de cararterización de subgrupos dice que dado un subconjunto H distinto del vacío de un grupo G, si se cumple esta condición:
i) Si a,b € H ==> a·b^(-1) € H
entonces H es un subgrupo de G.
Ya nos dicen que ad<>0, eso garantiza que existe la inversa.
Dada una matriz N
(I j)
(0 k)
Vamos a ver cuál es la inversa. Se toman los adjuntos
(K 0)
(-J i)
Se tranponen
(K -j)
(0 i)
Y se divide por el determinante
(k/(ik) -j/(ik))
( 0 i/(ik))
como i,k <>0
(1/i -j/(ik))
( 0 1/k )
Y sea M una mariz como la del enunciado, multiplicada por esta es
M·N^(-1) =
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(a b) (1/i -j/(ik) ) (a/i -aj/(ik) + b/k )
(0 d) x ( 0 1/k ) = ( 0 d/k )
Es una matriz que tiene la forma de las matrices pr tener 0 en el elemento diagonal-inferior y el producto de la diagonal es
ad / (ik)
Que está definido por ser ik<>0 y es distinto de 0 por ser ad<>0.
Luego se cumple la condición es este conjunto es un subgrupo de las matrices cuadradas 2x2 con determinante distinto de 0.
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La matrices no suelen ser nada conmutativas, para ver si es abeliano efectuemos el producto AB y BA y veamos si el resultado es el mismo
(a b) (i j) (ai aj+bk)
(0 d) x (0 k) = (0 dk) )
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(i j) (a b) (ia ib+jd)
(0 k) (0 d) = (0 kd )
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Y como puedes ver no es abeliano, para que lo fuera debería darse
aj + bk = ib + jd
Esto por ejemplo podria suceder si a=d
aj + bk = ib +ja
y i=k
aj+bi = ib + ja
Luego el grupo de estas matrices
(A b)
(0 a)
Con a<>0 si que sería grupo abeliano. Pero el que nos dan no lo es.
Y eso es todo.
¡Gracias! Creo que ya comprendí.
Hola, maestro Valero, disculpe, la duda que tengo es sobre la disposición de los elementos, ya ve que a veces falla el látex, pero me gustaría saber si se trata de matrices, es lo único que tengo duda, tiene usted alguna imagen para apoyarme? gracias y saludos.
No sé lo que preguntas exactamente, yo lo que veo es que en esta pregunta ha fallado el texto normal ya que han añadido líneas en blanco tras cada una y las matrices aparecen muy separadas.
Sobre el LaTex de esta página no sé qué decirte, falla mucho. Por ejemplo con la matrices, lo único que puedes hacer es meter una y solo una matriz, si quieres meter dos para hacer una operación, o quieres meter una y otras cosas como por ejemplo el resultado del determinante no te deja y solo sale la matriz número 1. Aparte falla en muchas otras cosas pero no creo que te refieras a ellas.
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Si quieres saber algo en especial debes concretar más la pregunta.
muy buena demostración. - De Oro Luis