Usar la regla de la cadena para resolver el siguiente ejercicio sobre derivadas parciales.
apoyo para verificar la regla de la cadena:
$$\begin{align}&H=f(u,v,w)=u^2+v^2-w \ \ \ donde\ \ \ u(x,y,z)=x^2, \ \ \ v(x,y,z)=y^2\ \ \ y \ \ \ w(x,y,z)=e^{-xz}\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No concretas hasta que punto hay que verificar la regla de la cadena. Lo haré para la variable x.
$$\begin{align}&\text{Con la regla de la cadena es}\\&\\&\frac{\partial f }{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial u}· \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}· \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}· \frac{\partial w}{\partial x}\\&\\&f(u,v,w)=u^2+v^2-w\\&u(x,y,z)=x^2\\&v(x,y,z)=y^2\\&w(x,y,z)=e^{-xz}\\&\\&\frac{\partial f }{\partial x} =2u·2x+2v·0-1·(-ze^{-zx})=\\&\\&4ux +ze^{-zx}=\\&\\&4x^2·x +ze^{-zx}=\\&\\&4x^3+ze^{-zx}\\&\\&\text{Mientras que si componemos primero}\\&\\&f(u,v,w)=u^2+v^2-w\\&u(x,y,z)=x^2\\&v(x,y,z)=y^2\\&w(x,y,z)=e^{-xz}\\&\\&f(x,y,z)=(x^2)^2+(y^2)^2-e^{-xz}= x^4+y^4-e^{-xz}\\&\\&\frac{\partial f}{\partial x}= 4x^3+ze^{-zx}\end{align}$$Y como puedes ver la derivada parcial respecto de x es la misma si la calculamos por la regla de la cadena que si la calculamos directamente en la función ya puesta como función de x, y, z.
Si hace falta más, puedes verificar que se cumple para y y z, es sencillo. Y si no sabes dímelo.
