¿Cuántos triángulos se pueden formar con 8 puntos situados en un círculo? ¿Y si tenemos n puntos?

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Un triángulo quedará definido por tres puntos distintos del círculo. Si damos los mismos tres puntos en orden distinto será el mismo triángulo mientras que si cambia uno cambiará el triángulo.

Luego las formas distintas son las combinaciones de 8 elementos tomados de 3 en 3, que puedes calcular con la fórmula que suelen enseñar como definción de número combinatorio:

$$\begin{align}&C_8^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!·5!}=\frac{40320}{6·120}=\\&\\&\frac{40320}{720}= 56\end{align}$$

O puedes calcular con la fórmula de

$$\begin{align}&C_8^3=\frac{V_8^3}{P_3}=\frac{8·7·6}{3!}=\frac{8·7·6}{6}=8·7=56\end{align}$$

Y lo hago de las dos formas porque bastantes personas a las que contesto directamente con la segunda forma, que es más sencilla en muchos casos, no la conocen.  En este caso es más sencilla la segunda y se puede calcular mentalmente.  Mientras que si me dijeras por ejemplo las  C(49, 22) sería mejor usar la primera forma.

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Y eso es todo.