Matrices, encontrar vectores que hagan crecer más y menos, diagonalizar. Álgebra lineal.

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No conozco la respuesta a todo, tal vez necesitaria bver la teoría que estáis estudiando o si habéis hecho algún ejercicio similar.

Lo que si puedo decirte es que la matriz tiene el valor propio 0 ya que si restas 0 en la diagonal queda ella misma que es irregular. En concreto tiene dos parejas de filas iguales, una vez suprimidas ya las tres que uqedan son independientes. Eso quiere decir que el 0 es un valor propio de multiplicidad 2.

Los vectores propios del valor propio 0 cumplirán

Mv = 0·v = 0

Luego el módulo de Mv para estos vectores propios será el mínimo posible.

Entonces los vectores don hay mínimo son infinitos, la relación entre ellos es que son los vectores del subespacio propio del valor propio 0, que es un subespacio de dimensión 2, ya que nos dicen que la matriz es diagonalizable, y por lo tanto, la suma de multiplicidades es la suma de las dimensiones de los subespacios propios.

Calculamos la base de este subespacio.

0 0 0 1 0 | 0

0 1 1 1 1 | 0

1 0 0 0 1 | 0

Tomando como parametros t y s

x_4=0

x_5 = t

x_1 =-t

x_2= s

x_3 =-s-t

los vectores son (-t, s, -s-t, 0, t) = t(-1,0,-1,0,1) + s(0,1,-1,0,0)

podemos tomar estos dos vectores como base

B={(-1, 0, -1, 1), (0, 1, -1, 0, 0)}

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Y el resto de las preguntas escapan a mis conocimientos momentáneos. Podría suponer que los que crecen más sean los vectores propios del valor propio de mayor módulo, pero no estoy seguro, y ... ¿quién calcula valores propios de una matriz 5x5?

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