Sean H, K subgrupos de G y suponga que uno de ellos es normal en G. Demostrar que HK es subgrupo de G. Si ambos subgrupos son n

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Ambos son subgrupos luego por lo menos tienen el elemento neutro y el producto HK es no vació ya que tendrá el neutro también.

Falta ver que si a y b pertenecen a HK entonces ab^(-1) pertenece a HK

$$\begin{align}&a=h_1k_1   \qquad h_1\in H, k_1\in K\\&b=h_2k_2  \qquad h_2 \in H, k_2\in K\\&\\&ab^{-1}=h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&\text{Si el normal es K introducimos}\\&=h_1(h_2^{-1}h_2)k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&h_1h_2^{-1}[h_2·(k_1k_2^{-1})·h_2^{-1}]=\\&\\&\text{lo del corchete}\in K \text{ por ser K normal}\\&\text{y los dos primeros son de H, luego}\\&ab^{-1}\in HK\\&\\&\text{Si el normal es H}\\&\\&=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}(k_2·k_1^{-1}·k_1·k_2^{-1})=\\&\\&h_1[(k_1k_2^{-1})h_2^{-1}(k_1k_2^{-1})^{-1}]·k_1·k_2^{-1}\\&\\&\text{lo del corchete}\in H \text{ por ser H normal}\\&\text{y con poco más se ve que cumple que}\\&ab^{-1}\in HK\end{align}$$

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Si ambos son normales tenemos que ver que

$$\begin{align}&(hk)g(hk)^{-1} \in HK\\&\\&(hk)g(hk)^{-1} =\\&\\&h(kgk^{-1})h^{-1}=\\&\\&\text{lo del paréntesis}\in K\\&\\&hk_2h^{-1}=\\&\\&h(k_2h^{-1}k_2^{-1})k_2=\\&\\&\text{lo del paréntesis}\in H\\&\\&=(hh_2)k_2\in HK\end{align}$$

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Y eso es todo.