Demuestre la siguiente descripción en cuanto a grupos cíclicos.

Amo Mo!

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Sea G un grupo ciclico,

G=<a>={a^0, a^1, a^2,...}

Sea H un subgrupo de G.

Si H={e} ya está  H=<e>    donde e es elemento neutro

Si H <> {e} y no vació por supuesto, entonces tomamos el mínimo numero natural n tal que a^n pertenece a H. Vamos a demostrar que

H=<a^n>

Sea un elemento a^m perteneciente a H, por la forma en que hemos tomado n, aplicando el algoritmo de la división

m = cn + r  con 0 <= r < n  y con c € NU{0}

a^m = a^(cn+r) = a^(cn)·a^r = (a^n)^c · a^r

Usaré el euro como símbolo de pertenece para abreviar

Tenemos que a^m € H por suposición, (a^n)^c € H por ser una potencia de a^n que es el elemento de H con a elevado al mínimo exponente natural, y por lo tanto su inverso [(a^n)^c]^(-1)€H

Entonces tendremos a^r = a^m · [(a^n)^c]^(-1) es el producto de dos elementos de H luego pertenece a H

a^r € H

Pero tenemos que r es estrictamente menor que n y n era el menor número natural tal que a^n€H, luego r no es natural, es el 0.

a^r = a^0 = e

Volviendo arriba donde habíamos concluido

a^m = (a^n)^c · a^r

ahora quedará

a^m = (a^n)^c · e = (a^n)^c  donde c€NU{0}

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Luego cualquier elemento a^m de H es una potencia de a^n con exponente natural o 0, luego H está generado por a^n.

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Y eso es todo.