Como obtengo la base del subespacio de R4 determinado por la ecuación
Obtenga una base del subespacio de R4 determinado por la ecuación
$$\begin{align}&2x_{1}-3x_{-3}-X_{-4}=0 \end{align}$$
La variable x2 no aparece, eso quiere decir que puede tomar cualquier valor, a x1 y x3 también podemos darles el valor que queramos, mientras que x4 tiene predeterminado su valor por los de x1 y x3.
Entonces los vectores del subespacio son
(x1, x2, x3, 2x1 - 3x3)=
y se pueden generar como suma de estos vectores
=(x1, 0, 0, 2x1) + (0, x2, 0, 0) + (0, 0, x3, -3x3) =
y sacando fuera el factor repetido tenemos
=x1(1, 0, 0, 2) +x2 (0, 1, 0, 0) + x3(0, 0, 1, -3)
Luego el espació vectorial esta generado por
B={(1,0,0,2), (0,1,0,0), (0,0,1,-3)}
Que es un sistema libre y por lo tanto es una base. Lo de que es un sistema libre se ve porque al ponerlos tienen ceros por debajo de la diagonal y en la diagonal no.
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Y eso es todo.
