Dada la funcion f(X)=x^3-4x+4, demostrar que existe cε[-3,0]tal que f(c)=0

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Seguramente esto tiene que ser una aplicación del teorema de Bolzano. Veamos el enunciado:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Y ahora veamos que lo cumple

f(x) = x^3 - 4x + 4

Los polinomios son funciones continuas en todo R, luego en [-3, 0] es continua

f(-3) = (-3)^3 - 4(-3) + 4 = -27 + 12 + 4 = -11

f(0) = 4

Luego hay signos contrarios en los extremos del intervalo.

Se cumplen las condiciones y por aplicación del teorema hay un punto c en (-3, 0) tal que f(c)=0

El enunciado dice en [-3, 0] pero como (-3, 0) está incluido en [-3,0] se cumple el enunciado.

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Y eso es todo.