Porque cuando evaluo la segunda derivada en f''(o), para saber si hay un màximo ò un mìnimo me dà:
Porque cuando evaluo la segunda derivada en f''(o), para saber si hay un màximo ò un mìnimo me dà 0, osea que no hay màximo ni minimo, pero al hacer la gràfica me doy cuenta que hay un mìnimo, es del ejercicio anterior profesor que hallè la primera derivada :
f'(x)=3(x^2-1)^2 y los puntos crìticos fueron: x=0, x=-1 y x=1 y si la funciòn es:
f(x)= (x^2 - 1)^3, entonces la coordenada en Y de los puntos crìticos es: (0,-1), (-1, 0) y (1,0) y cuando evaluo los puntos crìticos en la segunda derivada para saber si hay màximos ò mìnimos me dà:
f''(x)=30x^4 - 36x^2 + 6
f''(0)= 0
f''(-1)=0
f''(1)=0
Osea que no hay màximos ni mìnimos.
Y los puntos de inflexiòn son: x=-1 x=1 x=-0.447 y x=0.447 entonces las coordenadas de los puntos de inflexiòn son: (-0.447, -0.512) y (0.447, 0.512) y cuando hago la gràfica con estos datos, en la gràfica me doy cuenta que sì hay un mìnimo en (0, -¿1) Entonces porque cuando evalùe los puntos crìticos en la segunda derivada en todos me diò igual a cero?
1 Respuesta
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La regla de la derivada segunda es un poco más completa de lo que se acuerda uno normalmente. Dice así:
Si la derivada primera es 0 entonces:
Si la derivada segunda es positiva es un mínimo, si es negativa es un máximo, si es cero no se sabe de momento y se calcula la derivada tercera. Si la derivada tercera es distinta de 0 era un punto de inflexión, si es 0 no se sabe de momento y se calcula derivada cuarta. Si la cuarta es positiva es un mínimo, si es negativa es un máximo y si es 0 no se sabe nada y calculamos la quinta, etc.
Y dicho de forma más rigurosa es así.
Si la derivada primera es 0, entonces calculamos las derivadas siguientes hasta obtener una que sea distinta de 0. Si esa derivada es de orden par entonces si es positiva es mínimo y si es negativa es un máximo. Y si esa primera derivada no nula es de orden impar es un punto de inflexión.
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Creo que no me has dado la mima función, me parece que en el ejercicio anterior decías que:
f'(x) = 6x(x^2 - 1)^2
f''(x) = 6(x^2-1)^2 +12x(x^2-1)·2x = 6(x^2-1)(x^2-1+4x^2 ) =
6(x^2-1)(5x^2-1) = 30x^4 - 36x^2 + 6
Entonces
f''(0) = 6 luego x=0 es un mínimo
f''(-1) = 0
f''(1) = 0
Calculamos la derivada tercera
f'''(x) = 120x^3 - 72x
f'''(-1) = -48
f'''(1) = 48
Como la primera derivada no nula es impar, los puntos x=-1 y x=1 son puntos de inflexión.
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Y eso es todo.
Muchas gracias profesor, yo estaba evaluando mal el punto crìtico x=0 en la segunda derivada y me daba 0, cuando en verdad f''(0)=6 es un mìnimo, por eso en la gràfica si me aparecìa ese mìnimo, muchas gracias por su explicaciòn.
