¿Cuál es el limite de esta ecuación?
- Mostrar que lim x--> infito
- raiz(x^2+x)-x=1/2
- Sugerencia racionalizar el numerador multiplicando raiz(x^2+x)-x por raiz(x^2+x)-x/raiz(x^2+x)-x después expresar el denominador en forma tal que x sea un factor.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Si, esa sugerencia es la que se emplea para resolver esta clase de límites, aunque no la veo muy bien expresada. Yo la llamaría multiplicar y dividir por el conjugado.
$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2+x}-x=\\&\\&\lim_{x\to\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{ \sqrt{x^2+x}+x}=\\&\\&\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+x-x^2}{ \sqrt{x^2+x}+x}=\\&\\&\lim_{x\to\infty} \frac{x}{ \sqrt{x^2+x}+x}=\\&\\&\text{Ahora puedes bajar el numerador dos escalones}\\&\text{O si eso no lo ves claro, divide por x el }\\&\text{numerador y el denominador}\\&\\&=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac xx}{\frac{ \sqrt{x^2+x}+x}{x}}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\frac {\sqrt{x^2+x}}{x}+1}=\\&\\&\text{la x entra dentro de la raíz cuadrada como }x^2\\&\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac 1x}+1}=\\&\\&\text{y el }\frac 1x\to 0 \quad \text{ luego}\\&\\&=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{\sqrt 1+1}= \frac 1{1+1}= \frac 12\end{align}$$·
