Dada una función sobreyectiva demostrar que existe

·

Si f(0)=0, o si f(1)=1 ya está, luego supongamos que no se cumple ninguna de las dos cosas, entonces

f(0) >0

f(1) < 1

Consideramos la función

g(x) = x-f(x)

es una función continua por ser diferencia de continuas

g(0) = 0 - f(0) < 0

g(1) = 1 -f(1) >0

Luego g tiene un cambio de signo en el intervalo (0,1), al ser continua se cumple el teorema de Bolzano y habrá un punto xo en (0,1) tal g(xo)=0

g(xo) =  xo - f(xo)=0

f(xo) = xo

Luego existe ese punto que dice el enunciado.

Y eso es todo.