Alguien sabe como demostrar los siguientes es de derivadas

$$\begin{align}&\text{sabemos que:}\\&\\&senh(a)=\frac{e^a-e^{-a}}{2}\\&\\&\text{entonces, si hacemos:}\\&\\&a=x+y\ \ \ \text{,entonces:}\\&\\&senh(a)=senh(x+y)=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}=\frac{e^x*e^y-e^{-x}*e^{-y}}{2}\\&\\&\text{luego, usemos las siguientes identidades:}\\&\\&e^x=cosh(x)+senh(x)\\&e^y=cosh(y)+senh(y)\\&e^{-x}=cosh(x)-senh(x)\\&e^{-y}=cosh(y)-senh(y)\\&\\&\text{sustituyamos esas identidades en}\ \ \ \ \frac{e^x*e^y-e^{-x}*e^{-y}}{2}=senh(x+y)\\&\text{entonces:}\\&\\&senh(x+y)=\frac{(cosh(x)+senh(x))(cosh(y)+senh(y))-(cosh(x)-senh(x))(cosh(y)-senh(y))}{2}\\&\\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{cosh(x)cosh(y)+cosh(x)senh(y)+senh(x)cosh(y)+senh(x)senh(y)-cosh(x)cosh(y)+cosh(x)senh(y)+senh(x)cosh(y)-senh(x)senh(y)}{2}\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2senh(x)cosh(y)+2cosh(x)senh(y)}{2}\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{2(senh(x)cosh(y)+cosh(x)senh(y))}{2}\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =senh(x)cosh(y)+cosh(x)senh(y).\\& \\&\\&\end{align}$$

y listo !

Cualquier duda, me preguntas :D

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Hay que tener en cuenta la definición de las funciones hiperbólicas y es una comprobación sencilla.

$$\begin{align}&senh \,x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&\\&cosh\,x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\&\\&\text{El lado izquierdo será}\\&\\&senh(x+y) = \frac{e^{x+y} -e^{-(x+y)}}{2}\\&\\&\text{Y el derecho será}\\&\\&senh\,x ·cosh\, y+ cosh\,x·senh\,y=\\&\\&\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)·\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)·\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)=\\&\\&\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\\&\\&\frac{2e^{x+y}+0e^{x-y}+0e^{-x+y}-2e^{-x-y}}{4}=\\&\\&\frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}= \\&\\&\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}\end{align}$$

Y como puede comprobarse el lado izquierdo y derecho son iguales para todo x, luego se cumple la identidad.

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Y eso es todo.