Problema álgebra lineal base y dimension
Sean v,w_1 y w_2 pertenecen a R3 espacio vectorial sobre R, demuestre que si v es perpendicular a w_1 y w_2, entonces es perpendicular a cualquier combinación lineal de ellos dos.
1 Respuesta
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En Algebra dos vectores son perpenduculares cuando su producto escalar (o también llamado producto interno, producto interior o producto punto) es 0
Si v es penpendicular a w_1 y a w_2 se cumple:
<w_1, v> = 0
<w_2, v> = 0
para cualquier a y b del cuerpo se cumple
a<w_1, v> = 0
b<w_2, v> = 0
y por la propiedad lineal por la izquierda del producto escalar
<aw_1+bw_2, v> = a<w_1, v> + b<w_2, v> = 0+0 = 0
Luego cualquier combinación lineal de w_1 y w_2 es perpendicular a v
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A lo mejor no has dado eso de la propiedad lineal por la izquierda, ya que muchas veces se enseña el producto escalar para cuerpos reales R, pero también puede ser el cuerpo complejo y entonces las propiedades del producto escalar son un poquito más enrevesadas, hay linealidad por la izquierda pero por la derecha es otro tipo de linealidad llamada conjugada.
http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar#Definici.C3.B3n_general
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Y eso es todo.
