Calcular la probabilidad de los siguientes eventos
En grupo de 100 estudiantes de bachillerato que están cursando el último año de bachillerato, 42 cursaron matemáticas, 68 psicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y psicología, 7 historia pero ni matemáticas ni psicología, 10 las tres materias y 8 no cursaron ninguna de las tres materias. Seleccione al azar un estudiante y calcule las siguientes probabilidades:
- Una persona inscrita en psicología este cursando los tres cursos.
- Una persona no inscrita en psicología y que este cursando historia y matemáticas.
No se si el enunciado es correcto porque no me dan los totales
2 Respuestas
Creo que la mejor forma de interpretar los datos es mediante la utilización de diagramas de Venn. Veamos que información tenemos en la siguiente imagen:
$$\begin{align}&C1)\ a+c+d+10 = 42\\&C2)\ b+c+e+10 = 68\\&C3)\ d+e+10+7=54\\&C4)\ d+10=22\\&C5)\ c+10=25\\&C6)\ a+b+c+d+e+10+7+8=100\\&\mbox{Que simplificando todo lo que podemos queda:}\\&C1)\ a+c+d= 32\\&C2)\ b+c+e = 58\\&C3)\ d+e=37\\&C4)\ d=12\\&C5)\ c=15\\&C6)\ a+b+c+d+e=75\\&\mbox{Reemplazamos C4 y C5 en C1}\\&C1')\ a+15+12= 32 \to a=5\\&\mbox{Reemplazamos C4 en C3}\\&C3')\ 12+e=37 \to e = 25\\&\mbox{Reemplazamos C5 y C3' en C2}\\&C2')\ b+15+25 = 58 \to b=18\\&\mbox{Se puede ver que todas los datos cumplen la condición C6, así que el diagrama queda}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$
Ahora que tenemos los datos, veamos las preguntas...
- Una persona inscrita en psicología este cursando los tres cursos.
La probabilidad se define como casos favorables entre casos posibles, así que para este caso tenemos:
Favorables (inscriptos en las 3): 10 personas
Posibles (inscriptos en psicología): 10+15+15+18 = 58 personas
Probabilidad = 10 / 58 = 0,1724 - Una persona no inscrita en psicología y que este cursando historia y matemáticas.
Nuevamente, viendo favorables sobre posibles tenemos
Favorables (cursando H y M): 12 + 10 = 22
Posibles (no inscripta en P): Todos - Incripto en P = 100 - (18+15+15+10) = 42
Probabilidad = 22/42 = 0,5238
Respecto a la pregunta 2, creo que depende la interpretación de la oración pueden estar pidiendo algo distinto.
Una pregunta, si sumo los números de la gráfica me da 90
Fred, fijate que me equivoqué al escribir los valores en la segunda gráfica. En el análisis te digo que e=25, pero en el gráfico puse 15, así que ese es el valor que deberías modificar en la gráfica :S
Fred Ro!
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Parecen ejercicios de probabilidad condicionada aunque hay alguna contradicción y no utilizan el lenguaje específico. Tú podrás saber mejor que nadie se se refieren a eso.
La probabilidad condicionada es
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Y se lee como probabalidad de A condicionada a B o probabilidad de A dado B.
1)
A = Estudia las tres
B = Estudia psicologia
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A)/P(B) =
ambos datos nos los dan directamente en el enunciado
= 10/68 = 0.1470588235
2)
$$\begin{align}&\cup\end{align}$$A = Estudia historia y matematicas
B = No estudia psicologia
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)=
P(estudia historia, matemáticas y no psicologia) / P(no psicología) =
Y no nos dicen directamente cuantos estudian historia y matemáticas pero no psicología.
Dados dos conjuntos X, Y se tiene que llamando Y' al complemento de Y tenemos
X = (X∩Y) ∪ (X∩Y')
Además los dos conjuntos de la unión son disjuntos, por lo que podemos poner que los cardinales cumplen
|X| = |(X∩Y)| + |(X∩Y')|
|(X∩Y')| = |X| - |(X∩Y)|
Sutituyendo X por los que estudian historia y matemáticas (H∩M) y Y por los que estudian psicología (S) (para no confundir con la P de probabilidad) tendremos
|H∩M∩S'| =|H∩M| - |H∩M∩S|
|H∩M∩S'| = 22-10 = 12
Recapitulamos, con la notación nueva será
P[(H∩M) | S'] = P(H∩M∩S') / P(S') =
los calculamos aparte para no trabajar con fracciones sobre fracciones
P(H∩M∩S') = |H∩M∩S'| / 100 = 12/100 = .12
P(S') = (100-|S|) / 100 = (100-68)/100 = 32/100 = 0.32
Luego la probabilidad es
= 0.12 / 0.32 = 0.375
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Y eso es todo.