Como puedo hacer el siguiente ejercicio de subespacios :)

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Debemos calcular cuántas de esas ecuciones son independientes. El número de ecuaciones independientes será restado a la dimensión del espacio vectorial original. Luego haremos las típicas operaciones de fila con las ecuaciones.

1  -2   0   1 | 0
3   5   1  -1 | 0
5   1   3   1 | 0
                        ·
1  -2   0   1 | 0
0  11   1  -4 | 0
0  11   3  -4 | 0
                        ·
1  -2   0   1 | 0
0  11   1  -4 | 0
0 0 2 0 | 0

Y no se puede hacer ninguna fila con todo 0, luego hay tres ecuaciones independientes y

dim(S) = dim(R^4) - 3 = 4-3 = 1

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b) Las ecuaciones cartesianas son las que han dado al principio pero se pueden simplificar mediante operaciones de fila, ya lo hicimos un poco pero aun se puede hacer más sumando adecuadamente ahora las de abajo a las de arriba, o multiplicando alguna por una constante, etc.

1  -2   0   1 | 0
0  11   1  -4 | 0
0   0   1   0 | 0
                     ·
1  -2   0   1 | 0
0  11   0  -4 | 0
0   0   1   0 | 0 
                     ·
1  -2   0   1 | 0
0 11/4  0  -1 | 0
0   0   1   0 | 0 
                     ·
1 -2+11/4  0   0 | 0
0  11/4    0  -1 | 0
0   0      1   0 | 0
                     ·
1  3/4     0   0 | 0
0   11     0  -4 | 0
0   0      1   0 | 0
                     ·
4   3      0   0 | 0
0  11      0  -4 | 0
0   0      1   0 | 0

Y las ecuaciones cartesianas son

4x+ 3y = 0

11y - 4t = 0

z=0

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c) Para calcular la base calculamos antes las ecuaciones paramétricas del subespacio, consideramos la t como parametro, entonces

11y - 4t=0  ==> y = (4/11)t

4x=3y = (12/11)t  ==> x = (3/11)t

Luego el espacio son los vectores

((3/11)t, (4/11)t, 0 , t)

multiplicamos por 11 para que quede entero

(3t,  4t, 0, 11t)

Y la base es B={(3,4,0,11)}

·

d)

Las ecuaciones paramétricas ya se han calculado, son:

x=3t

y=4t

z=0

t=11t

·

Y eso es todo.