¿Cómo demostrar esta propiedad de integrales?
$$\begin{align}&\text{Sea f continua en [0,b] y f(x)+f(b-x) distinto de cero, demostrar que:}\\&\int_0^b [f(x)]/[f(x)+f(b-x)]dx=b/2\end{align}$$No se me ocurre cómo terminar esta demostración, espero puedan ayudarme.
3 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
3
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Esa igualdad que todos vemos tan evidente yo la demostraré por cambio de variable.
$$\begin{align}&\int_0^b \frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx =\\&\\&t=b-x\implies x=b-t\\&dx=-dt\\&x=0\implies t=b\\&x=b \implies t=0\\&\\&=\int_b^0 \frac{f(b-t)}{f(b-t)+f(t)}(-dt) =\\&\\&-\int_b^0 \frac{f(b-t)}{f(b-t)+f(t)}dt = \\&\\&\int_0^b \frac{f(b-t)}{f(b-t)+f(t)}dt\\&\\&\text{El nombre de la variable se puede cambiar}\\&\\&\int_0^b \frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx =\int_0^b \frac{f(b-x)}{f(b-x)+f(x)}dt\\&\\&\text{Y si las sumamos}\\&\\&2I=\int_0^b \frac{f(x)+f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx = \int_0^b dx = x\bigg|_0^b=b\\&\\&\text{luego}\\&\\&I=\frac b2\end{align}$$Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido.
Respuesta de Karl Mat
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Buena idea lo que me dio Jie Long
$$\begin{align}&\text{Es cierto que : } \int\limits_0^bf(x)dx=\int\limits_0^bf(b-x)dx\\&\text{Por eso podemos deducir:}\\&I = \int\limits_0^b\frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx=\int\limits_0^b\frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx\\&\\&\text{Por consiguiente}\\&2I=\int\limits_0^b\frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx+\int\limits_0^b\frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx\\&2I=\int\limits_0^b\frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}+\frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx\\&2I=\int\limits_0^bdx\\&2I=b\\&I=\frac{b}2\end{align}$$
Respuesta de Jie Long
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Yo pienso lo siguiente:
$$\begin{align}&\int_0^bf(x)dx = \int_0^bf(b-x)dx\\&\\&\text{Porque } f(x) = f(b-(b-x)) \text{; y como la integral es una suma, nos}\\&\text{da igual sumar }f(0) + f(1) + ... + f(b) \text { que } f(b - 0) + f(b - 1) + ... + f(b - b)\\&\text{(esto no es muy riguroso, pero se me hace complicado escribir con esto}\\&\text{y espero que se entienda bien el razonamiento).}\end{align}$$Por lo tanto:
$$\begin{align}&\int_0^b\frac{f(x)}{f(x) + f(b-x)} = \frac{\int_0^bf(x)}{\int_0^bf(x) + \int_0^bf(b-x)} =\\&= \frac{\int_0^bf(x)}{\int_0^bf(x) + \int_0^bf(x)} = \frac{\int_0^bf(x)}{2\int_0^bf(x)} = \frac{1}{2}\end{align}$$Pero eso no es lo que había que probar, así que quizá me haya equivocado en algo. Si es así.
Esto ESTÁ MAL. Hay un error muy grave que voy a poner a continuación:
$$\begin{align}&\text{Es cierto que si } f \text{ y } g \text{ son dos funciones integrables }\\&\text{en el intervalo } [a, b]\text{, entonces:}\\&\int_a^b f+g = \int_a^b f + \int_a^b g\\&\\&\text{Pero NO ES CIERTO que:}\\&\int_a^b \frac{f}{g} = \frac{\int_a^b f}{\int_a^b g}\\&\\&\text{Esto lo podemos ver fácilmente con un contraejemplo:}\\&\text{Sean } f(x) = 1 \text{ y } g(x) = 1 \text{ entonces:}\\&\\&\int_a^b \frac{f(x)}{g(x)}dx = \int_a^b \frac{1}{1}dx = b - a; \text{ pero:}\\&\\& \frac{\int_a^b f(x)dx}{\int_a^b g(x)dx} = \frac{\int_a^b dx}{\int_a^b dx} = \frac{b - a}{b - a} = 1\end{align}$$Todo lo que pongo es un desastre. Lo siento, será mejor que deje de responder.