¿Cómo demostrar esta propiedad de integrales?
$$\begin{align}&\text{Sea f continua en [0,b] y f(x)+f(b-x) distinto de cero, demostrar que:}\\&\int_0^b [f(x)]/[f(x)+f(b-x)]dx=b/2\end{align}$$No se me ocurre cómo terminar esta demostración, espero puedan ayudarme.
Respuesta de Karl Mat
2
Buena idea lo que me dio Jie Long
$$\begin{align}&\text{Es cierto que : } \int\limits_0^bf(x)dx=\int\limits_0^bf(b-x)dx\\&\text{Por eso podemos deducir:}\\&I = \int\limits_0^b\frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx=\int\limits_0^b\frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx\\&\\&\text{Por consiguiente}\\&2I=\int\limits_0^b\frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx+\int\limits_0^b\frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx\\&2I=\int\limits_0^b\frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}+\frac{f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx\\&2I=\int\limits_0^bdx\\&2I=b\\&I=\frac{b}2\end{align}$$
2 respuestas más de otros expertos
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
3
·
Esa igualdad que todos vemos tan evidente yo la demostraré por cambio de variable.
$$\begin{align}&\int_0^b \frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx =\\&\\&t=b-x\implies x=b-t\\&dx=-dt\\&x=0\implies t=b\\&x=b \implies t=0\\&\\&=\int_b^0 \frac{f(b-t)}{f(b-t)+f(t)}(-dt) =\\&\\&-\int_b^0 \frac{f(b-t)}{f(b-t)+f(t)}dt = \\&\\&\int_0^b \frac{f(b-t)}{f(b-t)+f(t)}dt\\&\\&\text{El nombre de la variable se puede cambiar}\\&\\&\int_0^b \frac{f(x)}{f(x)+f(b-x)}dx =\int_0^b \frac{f(b-x)}{f(b-x)+f(x)}dt\\&\\&\text{Y si las sumamos}\\&\\&2I=\int_0^b \frac{f(x)+f(b-x)}{f(x)+f(b-x)}dx = \int_0^b dx = x\bigg|_0^b=b\\&\\&\text{luego}\\&\\&I=\frac b2\end{align}$$Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido.
Respuesta de Jie Long
1
Yo pienso lo siguiente:
$$\begin{align}&\int_0^bf(x)dx = \int_0^bf(b-x)dx\\&\\&\text{Porque } f(x) = f(b-(b-x)) \text{; y como la integral es una suma, nos}\\&\text{da igual sumar }f(0) + f(1) + ... + f(b) \text { que } f(b - 0) + f(b - 1) + ... + f(b - b)\\&\text{(esto no es muy riguroso, pero se me hace complicado escribir con esto}\\&\text{y espero que se entienda bien el razonamiento).}\end{align}$$Por lo tanto:
$$\begin{align}&\int_0^b\frac{f(x)}{f(x) + f(b-x)} = \frac{\int_0^bf(x)}{\int_0^bf(x) + \int_0^bf(b-x)} =\\&= \frac{\int_0^bf(x)}{\int_0^bf(x) + \int_0^bf(x)} = \frac{\int_0^bf(x)}{2\int_0^bf(x)} = \frac{1}{2}\end{align}$$Pero eso no es lo que había que probar, así que quizá me haya equivocado en algo. Si es así.
Esto ESTÁ MAL. Hay un error muy grave que voy a poner a continuación:
$$\begin{align}&\text{Es cierto que si } f \text{ y } g \text{ son dos funciones integrables }\\&\text{en el intervalo } [a, b]\text{, entonces:}\\&\int_a^b f+g = \int_a^b f + \int_a^b g\\&\\&\text{Pero NO ES CIERTO que:}\\&\int_a^b \frac{f}{g} = \frac{\int_a^b f}{\int_a^b g}\\&\\&\text{Esto lo podemos ver fácilmente con un contraejemplo:}\\&\text{Sean } f(x) = 1 \text{ y } g(x) = 1 \text{ entonces:}\\&\\&\int_a^b \frac{f(x)}{g(x)}dx = \int_a^b \frac{1}{1}dx = b - a; \text{ pero:}\\&\\& \frac{\int_a^b f(x)dx}{\int_a^b g(x)dx} = \frac{\int_a^b dx}{\int_a^b dx} = \frac{b - a}{b - a} = 1\end{align}$$Todo lo que pongo es un desastre. Lo siento, será mejor que deje de responder.
Efectivamente. De hecho, lo que puse yo está mal, acabo de caer en que caí en un error garrafal, como voy a comentar en mi respuesta. - Jie Long