¿A qué converge la siguiente suma?
$$\begin{align}&\sum_{n = 1}^{\infty} nx^n\end{align}$$para
$$\begin{align}&0 < x < 1\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
2
Jie Long!
·
$$\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\\&\\&x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+....=\\&\\&x + x^2+x^3+x^4+....+\\&x^2+x^3+x^4+.....+\\&x^3+x^4+x^5+....+\\&....=\\&\\&x(1+x+x^2+---) +\\&x^2(1+x+x^2+ ...)+\\&x^3(1+x+x^3+ ...) +\\&... =\\&\\&(x+x^2+x^3+...)(1+x+x^2+...) =\\&\\&x(1+x+x^2+x^3+...)(1+x+x^2+x^3+...) =\\&\\&\text{si }|x|\lt 1 \text{ por la fórmula de suma de infinitos}\\&\text{términos de las progresiones geométricas}\\&\\&=x\left( \frac{1}{1-x}\right)\left( \frac{1}{1-x}\right)=\frac{x}{(1-x)^2}\end{align}$$
