¿Cuál es la suma de esta serie?
$$\begin{align}&\sum_{n=1}^\infty{{n^2-10}\over{4n^5+n^3}}\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Pedro!
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No recuerdo problemas de este tipo y no se si habrá soluciones mejores, a mi se me ocurre descomponer la serie en suma de series sencillas, lo mismo que se hace en las integrales y transformada de Laplace.
La factorización del denominador es
4n^5+n^3 = n^3(4n^2+1)
y la descomposición es
$$\begin{align}&\frac an+\frac{b}{n^2}+ \frac{c}{n^3}+\frac{dn+e}{(4n^2+1)}=\\&\\&\frac{(an^2+bn+c)(4n^2+1)+n^3(dn+e)}{4n^5+n^3}=\\&\\&\frac{(4a+d)n^4+(4b+e)n^3+(a+4c)n^2+bn+c}{4n^5+n^3}\\&\\&4a+d=0\\&4b+e=0\\&a+4c=1\\&b=0\\&c=-10\\&\\&\text{y se deducen}\\&e=0\\&a=41\\&d=-164\\&\\&\text{luego}\\&\\&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-10}{4n^5+n^3}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{41}{n}-\frac{10}{n^3}-\frac{164n}{4n^2+1}\right)=\end{align}$$Y aquí tengo que dejarlo. Sé que existen funciones especiales para esos sumatorios pero no las conozco, necesitaría tener la teoría que estás dando para hacerlo como te han enseñado.
