Problema de probabilidad:Una nave funciona adecuadamente ...

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La nave de dos motores tiene una probabilidad de funcionar de

Funciona el primero y el segundo no: p(1-p)

Funciona el segundo y el primero no: (1-p)p

Funcionan los dos: p^2

Luego la probabilidad de funcionar ya que estos sucesos son disjuntos es la suma de ellas

2p(1-p) + p^2 = 2p-p^2

Y con cuatro motores es

Funcionan 2

C(4,2)·p^2·(1-p)^2 = 6p^2·(1-p)^2

Funcionan 3

C(4,3)p^3(1-p) = 4p^3·(1-p)

Funcionan los 4

P^4

La suma de estas probabilidades es

6p^2 - 12p^3 + 6 p^4  +   4p^3 - 4p^4  + p^4 =

6p^2 - 8p^3 +3p^4

Y debe ser

6p^2 - 8p^3 + 3p^4 > 2p - p^2

Podemos dividir por p ya que es positivo y se mantiene la desigualdad

6p -8p^2 + 3p^3 > 2 -p

3p^3 - 8p^2 + 7p - 2 > 0

La solución p=1 se ve a simple vista

 3 -8 7 -2
1 3 -5 2
      --------------
      3 -5 2 |0

luego debe ser

(p^2 - 5p + 2) (p-1) >0

pero como p-1<=0 podemos quitarlo cambiando el sentido

p^2 - 5p + 2 < 0

Calculamos las raíces

$$\begin{align}&p=\frac{5\pm \sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}=\\&\\&\text{es imprescindible saber su valor aproximado}\\&\\&p_1=0.43844471872\\&p_2=4.561552813\end{align}$$

Como la parábola tiene forma de U es menor que 0 cuando p está entre las dos raices, pero además p no puede ser mayor que 1, luego p debe estar en (0.43844471872, 1] para que se cumpla lo que nos piden.

Y eso es todo.