A) Calcule su comportamiento y tendencia en el punto (8,3), en la dirección (1,0). B) Optimice la función

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La función es un polinomio tiene derivadas parciales continuas, es diferenciable y todas las cosas buenas que le queramos pedir.

Las derivadas parciales son

fx = 2x+2z

fy = 4y - z

fz = 2x-y

En el punto (-1, -1, -1) el gradiente será

Grad = (-2-2, -4+1, -2+1) = (-4, -3, -1)

Y la derivada direccional en la dirección (1,1,1) será

$$\begin{align}&(-4,-3, -1)·\left(\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3}  \right)=\\&\\&\frac{-4-3-1}{\sqrt 3}=-\frac{8}{\sqrt 3}= - \frac{8 \sqrt 3}{3}\end{align}$$

Luego la función es decreciente en esa dirección.

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los puntos críticos son los que anulan las derivadas parciales

2x+2z = 0   ==> x=-z

4y - z = 0   ==> 4y + x = 0  ==> x= -4y

2x-y = 0  ==> -8y -y = 0 ==> y =0, x=0, z=0

Luego solo existe el punto crítico (0,0,0).

Es un punto de silla porque la función en (0,0,0) vale 0 y en puntos todo lo cercanos que queramos a 0 la función vale positiva en unos y negativa en otros

f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 2xz - yz

f(h, 0, h) = h^2 + 2hh = 3h^2 > 0

f(h,0, -h) = h^2 - 2h^2 = -h^2 < 0

Luego es un punto de silla.

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Y eso es todo.