¿Existe alguna dirección v=(v1,v2,v3) en donde esa función sea creciente en el punto (1,1,1)?
Tenemos la siguiente función
¿Existe alguna dirección v=(v1, v2, v3) en donde esa función sea creciente en el punto (1,1,1)?
[quote]1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Es cuestión de hallar la derivada direccional y comprobarlo. Es una función polinómica de esas que son continuas, derivables infinitamente, con derivadas parciales continuas, diferenciables y todo lo bueno que se le puede pedir a un yerno. Luego las derivadas direccionales se pueden calcular multiplicando escalarmente el gradiente por el vector.
$$\begin{align}&f(x,y,z)=2x^2y+x^3y^2-3xz^2-2y^2z\\&\\&\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=4xy+3x^2y^2-3z^2\\&\\&\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=2x^2+2x^3y-4yz\\&\\&\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=-6xz-2y^2\\&\\&\nabla f_{(1,1,1)}=(4,0,-8)\\&\\&\text{Sea }u=(u_x,u_y,u_z) \text{ el vector de la dirección}\\&\\&\text{la derivada direccional será}\\&\\&\nabla f_{(1,1,1)}·u = (4,0,-8)·(u_x,u_y,u_z)=4u_x-8u_y\\&\\&\\&\text{Y la derivada direccional será positiva si}\\&\\&4u_x-8u_y \gt 0\\&\\&\text{Y existen infinitas direccciones que cumplen eso}\\&\\&(1, -2, 0) \text{ ya que }4-0=4\gt 0\\&(3, -4, 1) \text{ ya que }4·3-8·1=4\gt 0\\&etc.\\&\end{align}$$·
Y eso es todo.
