Extremos con funciones de 2 variables
De extremos
Determinar los extremos(relativos y absolutos) de la funcion f(x,y)=2-x^2-y^2 en R={(x,y)∈R2/-1≤x≤1;-1≤y≤1}
El ejercicio empece a plantearlo con las derivadas parciales
fx=-2x fy=-2y
De ahí saco que (0,0) es un punto critico
Después hago las derivadas segundas para armar el hessiano, me quedan
fxx=-2; fyy=-2; fxy=fyx=0
luego el hessiano me queda
fxx*fyy-(fyx^2)=(-2)*(-2)-0=4>0
Entonces según el criterio de la derivada parcial segunda, si tengo fxx<0 y H>0, la función tiene un máximo relativo en (0,0)
Hasta ahí entiendo como llegar. Después es cuando no se como seguir:
¿Tengo qué tomar la región que me da el enunciado(-1≤x≤1;-1≤y≤1) y analizar en cada borde? ¿Cómo podría hacer eso?
1 Respuesta
Luho 96!
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Si, lo que has hecho está bien. Lo que has calculado es el único extremo relativo de la función, pero en la frontera puede haber máximos o mínimos relativos.
Los punto de la frontera son segmentos de recta, los cuales a su vez tienen dos puntos de frontera cada uno
Los segmentos son
x=-1 con [-1 <=y <= 1]
x= 1 con [-1 <=y <= 1]
y=-1 con [-1 <= x <= 1]
y=1 con [-1 <= x <=1]
Si haces las sustituciones ves que la función es muy simétrica y calculando un segmento tienes los mismos valores que en los otros
Así si tomamos el primero la función queda
f(x,y) = 2 - (-1)^2 -y^2 = 1-y^2
la derivamos respecto de y
fy= -2y = 0
y=0
y la derivada segunda es
fyy = -2
luego el punto (-1, 0) es un máximo relativo en el primer segmento de la frontera
No cuesta nada comprobar que (1, 0), (0, -1) y (0,1) son los máximos relativos en los otros tres segmentos.
Y en todos ellos el valor de la función es
f(-1, 0) = f(1,0) = f(0,-1) = f(0,1) = 2 -1 = 1
rcordemos que el valor en (0,0) es
f(0,0) = 2
Y en los puntos del cuadrado es
f(1,1) = f(1,-1) = f(-1,1) = f(-1,-1) = 2-1-1=0
Luego tendremos
Maximo absoluto = 2 en (0,0)
Mínimos absolutos = 0 en (1,1), (1, -1), (-1, 1) y (-1,-1)
Maximo relativo = 2 en (0,0)
Y respecto a los puntos (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) no sabría que decirte. Son máximos relativos de la frontera pero no de la función.
Y eso es todo.
