¿Cómo se resuelve esta integral impropia?

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$$\begin{align}&\int_1^{\infty}\frac {dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\int_{1}^K \frac{dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}=\\&\\&t^2 = a^2-x^2 \\&2t\,dt =-2x\,dx\\&dx=\frac txdt=\frac{t\,dt}{\sqrt{a^2-t^2}{}}\\&x=1\implies t=\sqrt{a^2-1}\\&x=K\implies t=\sqrt{a^2-K^2}\end{align}$$

ESPERA, aquí hay algo que no cuadra.  Esta función está definida en el intervalo [-a, a] ya que si no el denominador tiene la raíz cuadrada de un número negativo, luego no tiene sentido integrar hasta el infinito, solo se puede integrar hasta a y la integral no sería impropia.

Revisa el enunciado, aunque es muy probable que sea así y el que hizo el problema no se dio cuenta de ese detalle.