Hallar el estimador de máxima verosimilitud...

En un momento me pongo a resolver tu ejercicio. :D

Disculpa la tardanza, pero se resuelve así :D

$$\begin{align}&\text{Tenemos primeramente que la finción de densidad es:}\\&\\&f(x;\theta)=e^{-(x-\theta)}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e^{-x+\theta}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e^{\theta-x}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e^{\theta}*e^{-x}\ \ \ \ \ con\ \ \  x\ge   \theta\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Luego, para hallarnos el estimador de máxima verosimilitud, hallemos primero la verosimilidad, la cual se define de la siguiente forma:}\\&\\&L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_{i};\theta)\\&\\&\text{Entonces:}\\&\\&L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_{i};\theta)\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ =e^\theta*e^{-x_{i}}\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ =(e^\theta*e^{-x_{1}})*(e^\theta*e^{-x_{2}})*...*(e^\theta*e^{-x_{n}})\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ =(e^\theta*e^\theta*...*e^\theta)*(e^{-x_{1}}*e^{-x_{2}}*...*e^{-x_{n}})\\&\\&\ \ \ \ \ \ \ \ =e^{n\theta}*e^{-\sum_{i=1}^n x_i}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Luego, saquemos logaritmo natural, entonces:}\\&\\&ln(L(\theta))=ln(e^{n\theta}*e^{-\sum_{i=1}^n x_i})\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =ln(e^{n\theta})+ln(e^{-\sum_{i=1}^n x_i})\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =n\theta*ln(e)+({-\sum_{i=1}^n x_i})*ln(e)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =n\theta\ {-\sum_{i=1}^n x_i}\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Luego,derivemos parcialmente:} \ \ \ ln(L(\theta))\ \ \ \text{con respecto del parámetro}\ \ \  \theta\ \  \text{ e igualemos a cero para hacerlo máximo, entonces:}\\&\\&\frac{\partial \ ln(L(\theta))}{\partial \theta}=0\\&\\&\text{Entonces:}\\&\\&\frac{\partial \ ln(L(\theta))}{\partial \theta}=n* \frac{d\ (\theta)}{d\theta}{-\sum_{i=1}^n x_i}*\frac{d\ (1)}{d\theta}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =n-0=0\\&\\&\text{Por lo tanto:   n=0}\\&\\&\text{Ahora, notemos que esta ecuación no proporciona un valor máximo ya que esa derivada no se anula. E En estas condiciones sólo queda observar que la derivada es siempre positiva, por lo que su mayor valor se obtiene cuando}\ \ \  \theta\ \ \ \text{ toma su valor máximo.}\\&\\&\text{Dado que los valores muestrales son tales que:}\ \ \ x_{i}\ge\theta\ \ con\ \ i=1,2,...,n\\&\text{entonces el estimador}\ \ \ \hat{\theta}\ \ \ \text{buscado será el valor máximo de}\ \ \ \theta\\&\\&\text{Es decir:}\\&\\&\theta _{máx} \ \ \ \text{que cumpla con ésa condición:}\ \ \ x_{i}\ge\theta\ \ con\ \ i=1,2,...,n\\&\\&\text{Por lo tanto:}\\&\\&\hat{\theta}_{máx}=máx(x_{n})\\&\\&\\&\end{align}$$

y listo!

Si tienes duda, me preguntas :D

Hola Yuri, muchas gracias. Sólo tengo una duda, el máximo sería 0 cierto?

¡Ya entendí, muchas gracias!