Como resolver los siguientes ejercicios utilizando el método de cuatro pasos (regla general)

$$\begin{align}&f(x)=9\\&\\&\text{Paso 1.  Incrementamos la función}\\&\\&f(x+\Delta x) = 9\\&\\&\\&\text{Paso2. Restamos la original de la incrementada}\\&\\&f(x+\Delta x) -f(x) = 9-9 = 0\\&\\&\\&\text{Paso 3.  Dividimos entre }\Delta x\\&\\&\frac{f(x+\Delta x) -f(x) }{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}\\&\\&\\&\text{Paso 4.  Calculamos límite cuando }\Delta x \to 0\\&\\&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=0\end{align}$$

Aunque el denominador tienda a 0 el límite se calcula en todos los puntos de un intervalo de 0 salvo el 0 y en todo ellos el valor es 0 por lo que el límite es 0

$$\begin{align}&f(x)=\frac{1}{(x^5)^{1/3}}\\&\\&\text{Paso 1.  Incrementamos la función}\\&\\&f(x+\Delta x) = \frac{1}{\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}\\&\\&\\&\text{Paso2. Restamos la original de la incrementada}\\&\\&f(x+\Delta x) -f(x) =  \frac{1}{\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}-\frac{1}{(x^5)^{1/3}}=\\&\\&\frac{(x^5)^{1/3}-\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}{(x^5)^{1/3}\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}\\&\\&\\&\text{Paso 3.  Dividimos entre }\Delta x\\&\\&\frac{(x^5)^{1/3}-\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}{\Delta x (x^5)^{1/3}\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}\\&\\&\\&\text{Paso 4.  Calculamos límite cuando }\Delta x \to 0\\&\\&\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x^5)^{1/3}-\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}{\Delta x (x^5)^{1/3}\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}\end{align}$$

Y esto es complicado en grado sumo, haré la simplificación con números normales y corrientes

$$\begin{align}&\frac{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}{\Delta x·ab}=\\&\\&\text{sabemos que}\\&\\&x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\&x-y=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}\\&\\&\text{Si llamamos}\\&\\&x=\sqrt[3]a\\&y=\sqrt[3]b\\&\\&\sqrt[3]a-\sqrt[3]b=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\\&\\&\\&\frac{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}{\Delta x·ab}=\frac{\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\Delta x·ab}=\\&\\&\frac{a-b}{\Delta x·ab\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}\end{align}$$

Ahora ya sustitujimos y nos centramos ya en el numerador a-b

$$\begin{align}&a-b= x^5-(x+\Delta x)^5 =\\&\\&x^5 -(x^5+5x^4 \Delta x+10x^3 (\Delta x)^2+10x^2(\Delta x)^3+5x(\Delta x)^4+(\Delta x)^5)=\\&\\&-5x^4 \Delta x-10x^3 (\Delta x)^2-10x^2(\Delta x)^3-5x(\Delta x)^4-(\Delta x)^5\end{align}$$

Y si sustituyeramos todo y simplificamos los incrementos de x quedará

-5x^4

Libre de incremento de x y los demás multiplicados por incrementeo de x a alguna potencia. Como incremento de x tiende a cero esos términos tenderán a 0 y solo -5x^4 sirve. Y en resumen queda

$$\begin{align}&\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x^5)^{1/3}-\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}{\Delta x (x^5)^{1/3}\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}}=\\&\\&\lim_{\Delta x=0}\frac{-5x^4}{ (x^5)^{1/3}\left((x+\Delta x)^5\right)^{1/3}\left(((x^5)^2)^{1/3}+(x^5·(x+\Delta x)^5)^{1/3}+((x^5+\Delta x)^2)^{1/3}  \right)}=\\&\\&\frac{-5x^4}{x^{5/3}·x^{5/3}(x^{10/3}+x^{10/3}+x^{10/3})}=\\&\\&\frac{-5x^4}{3x^{10/3}·x^{10/3}}=\frac{-5x^4}{3x^{20/3}}=\\&\\&-\frac{5}{3}x^{4-\frac {20}3}=-\frac 53x^{-8/3}\end{align}$$

Y eso es todo, era imposible escribir todos los pasos seguidos con todos los términos, el ordenador no admite demasiadas fórmulas, se queda bloqueado, y las líneas de mucha longitud no se pueden ver de un golpe como en una pizarra alargada, quedan mal.

·

Y eso es todo.