¿Cuál es el límite de esta sucesión?
Creo que está claro que tiende a cero, pero no sé cómo demostrarlo:
$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(2n)!}\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Veamos si se puede usar la fórmula de Stirling que dice cuando n tiende a infinito
$$\begin{align}&n! \approx \sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}\\&\\&Entonces\\&\\&(2n)! \approx \sqrt {4 \pi n} \frac{(2n)^{2n}}{e^{2n}}=\\&\\&\sqrt {4 \pi n} \frac{2^{2n} n^{2n}}{e^{2n}}=\\&\\&\sqrt{4\pi n}\frac{2^{2n}·(n^n)^2}{e^{2n}}\\&\\&\frac{n^n}{(2n)!}\approx \frac{e^{2n}}{2^{2n}\sqrt{4\pi n}·n^n}\\&\\&= \frac{(e^2)^n}{4^n·n^n \sqrt{4\pi n}}=\left(\frac{e^2}{4n}\right)^n·\frac{1}{\sqrt {4 \pi n}}\end{align}$$Lo de dentro del paréntesis tiende a 0 elevado al infinito, todavía tiende más a cero. Y la fracción de detràs también tiende a cero luego el total tiende a 0.
Y eso es todo.
