Anónimo
Me podrían explicar esta derivada
Respuesta de antares18
2
La fórmula es
$$\begin{align}&a(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\\&\\&a'(x)=\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\\&\\&f(x)=(2x^5-6)^2\\&g(x)=(8x^7+1)^5\\&\\&\frac{((2x^5-6)^2)'*(8x^7+1)^5-((2x^5-6)^2*((8x^7+1)^5)'}{((8x^7+1)^5)^2}\\&\\&\frac{((2x^5-6)^2)'*(8x^7+1)^5-((2x^5-6)^2*((8x^7+1)^5)'}{((8x^7+1)^5)^2}\\&\\&(8x^7+1)^5\\&Se.comporta.como.si.fuera.un.x^5.\\&Para.aclarar.mejor.hacemos.un.cambio.de.variable\\&\\&t=(8x^7+1)\\&dt=56x^6 \\&d(ax^n)=(n*ax)^{n-1} =>d(8n^7)=(7*8x)^{7-1}=56x^6\\&\\&Por.la .fórmula.de.arriba. tenemos.que.la.derivada.de.t^7.es.7t*^6dt\\&Entonces.sustituimos.la.t.por. el.valor.que.tiene.\\&7(8x^7+1)*56x^6 \\&\\&(2x^5-6)^2 \\&Se.comporta.como.si.fuera.un.x^2.\\&Para.aclarar.mejor.hacemos.un.cambio.de.variable\\&\\&t=2x^5-6\\&dt=10x^4 \\&d(ax^n)=(n*ax)^{n-1} =>d(2n^5)=(5*2x)^{5-1}=10x^4\\&\\&Por.la .fórmula.de.arriba. tenemos.que.la.derivada.de.t^2.es.2t*dt\\&Entonces.sustituimos.la.t.por. el.valor.que.tiene.\\&2(2x^5-6)*10x^4\\&\\&Sustituimos.lo.que.nos.ha.dado.en.la.fórmula\\&\\&\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\\&\\&\frac{[2(2x^5-6)*10x^4]*(8x^7+1)^5-(2x^5-6)^2*[7(8x^7+1)*56x^6 ]}{((8x^7+1)^5)^2}\\&\\&Ahora.sólo.es.deshacer.los.paréntesis\\&\\&\frac{20x^4*(2x^5-6)*(8x^7+1)-(2x^5-6)*(392x^6*(8x^7+1))}{{(8x^7+1)^{10}}}\\&\\&\frac{(40x^9-120x^4)*(8x^7+1)-(2x^5-6)*(3136x^{13}+392x^6)}{{(8x^7+1)^{10}}}\\&\\&\frac{(320x^{16}+40x^9-960x^{11}-120x^4)-(6272x^{18}+784x^{11}-18816x^{13}-2353x^6)}{{(8x^7+1)^{10}}}\\&\\&\frac{-6272x^{18}+320x^{16}+18816x^{13}-1744x^9+2353x^6-120x^4}{{(8x^7+1)^{10}}}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Alan!
·
Es la derivada de un cociente de funciones. Para empezar hay que conocer la fórmula de ese tipo de derivada.
$$\begin{align}&\left(\frac fg \right)' = \frac{fg'-f'g}{g^2}\\&\\&\text{Después numerador y denominador son potencias,}\\&\text{luego por la regla de la cadena}\\&\\&f=u^2 \implies f' = 2u·u'\\&g=v^5 \implies g'=5v^4·v'\\&\\&\text{Y finalmente}\\&\\&u=2x^5 -6\implies u' = 10x^4\\&v=8x^7+1\implies v' = 56x^6\\&\\&\text{Y juntádolo todo tenemos}\\&\\&\left(\frac{(2x^5-6)^2}{(8x^7+1)^5} \right)'=\\&\\&\frac{2(2x^5-6)·10x^4·(8x^7+1)^5-(2x^5-6)^2·5(8x^7+1)^4·56x^6}{(8x^7+1)^{10}}=\\&\\&\text{Fíjate que en el numerador se puede sacar mucho factor común}\\&\\&=\frac{20x^4(2x^5-6)(8x^7+1)^4[(8x^7+1)-(2x^5-6)·14x^2]}{(8x^7+1)^{10}}=\\&\\&\frac{20x^4(2x^5-6)·(8x^7+1-28x^7+84x^2)}{(8x^7+1)^6}=\\&\\&\frac{20x^4(2x^5-6)(-20x^7+84x^2+1)}{(8x^7+1)^6}\end{align}$$Y esa es la forma que hay que dejarla, lista para poder calcular facílmente las raíces.
Y eso es todo.
Perdona, la derivada del cociente la hice bien (eso creo) pero la fórmula la escribí mal, esta es la fórmula buena.
$$\begin{align}&\left(\frac fg \right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\end{align}$$