Resolver ejercicio de recta normal

A como está escrita la expresión, se puede ver que es una circunferencia de centro en (0,0) y radio r

Veamos si podemos deducir algo...

$$\begin{align}&x^2+y^2=r^2\\&\text{y los puntos que pertenecen a la circunferencia son los que cumplen esa expresión, o sea los pares }(x_0,y_0) tales\ que\\&x_0^2+y_0^2=r^2\\&\text{Veamos la expresión de la derivada a la circunferencia}\\&y = \sqrt{r^2-x^2}\\&y'=\frac{-x}{ \sqrt{r^2-x^2}}\\&\text{por otro lado, cualquier recta que pasa por el origen (excepto las verticales) son de la forma y = mx, para algún valor de m}\\&\text{Las rectas verticales, no se pueden representar con esta ecuación, pero como es una sola, la podemos}\\&\text{ identificar fácilmente y cortará a la circunferencia en los puntos } (0,r) \ y \ (0, -r)\\&\text{Además es fácil ver que en esos puntos, las rectas tangentes a la circunferencia son horizontales y por lo tanto se cumple}\\&\text{De manera similar se puede ver que cuando m=0, el punto de corte con la circunferencia es } (r, 0)\ y\ (-r, 0), \text{siendo esta recta horizontal, y si se evalua este valor en y' se puede ver que da infinito (por lo tanto son perpendiculares}\\&\text{Evaluados los cuatro puntos "básicos", ahora veamos que pasa cuando m } \in (-\infty,+\infty) \text{ pero m} \ne0\\&\text{La pendiente tangente a la circunferencia, será}\\&y_0=\frac{-x_0}{ \sqrt{r^2-x_0^2}}\\&\text{y m tendrá la forma}\\&y = \frac{ \sqrt{r^2-x_0^2}}{x_0}\\&\text{pero no llego a darme cuenta que me falta para asociar ambas expresiones y llegar a la conclusión de tu definición}\\&\\&\end{align}$$

Lo siento pero hasta ahí llegué...a lo mejor otro experto puede llegar a completar lo que a mí me falta...

$$\begin{align}&\text{Para demostrar esta cuestión, encontremos la derivada implícita de la ecuación de la circunferencia con centro (0,0) y radio r, entonces:}\\&\\&\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(r^2)\\&\\&\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\\&\\&2x+2y\frac{dy}{dx}=0\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Luego, despejemos:}\ \frac{dy}{dx}\ \ \ entonces:\\&\\&2y\frac{dy}{dx}=-2x\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}\\&\\&\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Sea p(a,b) un punto cualquiera de la circunferencia.}\\&\text{Luego, sabemos que la ecuación de la recta normal a una curva en el punto}\ \  p(x_{1},y_{1})\ \ \text{ es:}\\&\\&y-y_{1}=-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}(x-x_{1})\\&\\&\text{Como p(a,b) es punto cualquiera de nuestra circunferencia, entonces lo sustituimos en la fórmula de la recta normal, junto con la}\ \ \frac{dy}{dx}\ \ \text{que ya habíamos hallado, luego:}\\&\\&y-b=-\frac{1}{-\frac{x}{y}}(x-a)\\&\\&y-b=\frac{y}{x}(x-a)\\&\\&y-b=y-a\frac{y}{x}\\&\\&a\frac{y}{x}=y-y+b\\&\\&ay=bx\\&\\&\text{Por lo tanto:}\\&\\&y=\frac{b}{a}x\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Ésta será la ecuación normal a la circunferencia en cualquier punto P(a,b) de ella.}\\&\text{Se demustra así que dado cualquier punto p(a,b) de la circunferencia, tomará la pendiente m=b/a de la ecuación de la recta normal, y por consiguiente, dado cualquier punto de la ecuación de la circunferencia, la ecuación de la recta normal pasará por el origen o el punto (0,0), es decir:}\\&\\&\text{Veamos si el punto (0,0) se encuentra en la ecuación:}\\&y=\frac{b}{a}x\ \ \ entonces:\ \ y=\frac{b}{a}(0)=0\\&\text{Esto comprueba que efectivamente el punto (0,0) siempre pertenecerá a la recta normal dado cualquier punto p(a,b) de la circunferencia.}\end{align}$$

y listo!

Cualquier duda, me dices :D