Como se hace para Calcular por la place una función

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Parece que lo que preguntas es por la inversa de la transformada de Laplace y creo que quieres decir esta función

$$\begin{align}&F(s) = \frac{1}{s(s^2+4s+6)}=\\&\\&\text{el segundo factor es irreducible, quedará}\\&\\&\frac{a}{s}+\frac{bs+c}{s^2+4s+6}=\\&\\&\frac{as^2+4as+6a+bs^2+cs}{s(s^2+4s+6)}=\\&\\&\frac{(a+b)s^2+(4a+c)s+6a}{s(s^2+4s+6)}\\&\\&\text{Para que primer numerador y último sean iguales}\\&\\&1=(a+b)s^2+(4a+c)s+6a\\&\\&6a=1 \implies a=\frac 16\\&a+b=0 \implies b=-\frac 16\\&4a+c=0\implies c=-\frac 46=-\frac 23\\&\\&F(s)=\frac 16·\frac 1s-\frac 16·\frac{s}{s^2+4s+6}-\frac 23·\frac{1}{s^2+4s+6}=\\&\\&\text{Completamos cuadrados en el denominador}\\&\\&s^2+4s+6 =(s+2)^2-4+6=(s+2)^2+(\sqrt 2)^2\\&\\&=\frac 16·1-\frac 16·\frac{s}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}-\frac 23 \frac{1}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}=\\&\\&\text{el segundo sumando debe tener s+2 en el numerador}\\&\\&\frac 16-\frac 16·\frac{s+2}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}+\frac 16·\frac{2}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}-\frac 23· \frac{1}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}=\\&\\&\frac 16-\frac 16e^{-2t}\cos(\sqrt 2\,t)-\frac 13· \frac{1}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}=\\&\\&\text{el último sumando debe tener }\sqrt 2 \text{ en el numerador}\\&\\&\frac 16-\frac 16e^{-2t}\cos(\sqrt 2\,t)-\frac 1{3 \sqrt 2}· \frac{\sqrt 2}{(s+2)^2+(\sqrt 2)^2}=\\&\\&\frac 16-\frac 16e^{-2t}\cos(\sqrt 2\,t) - \frac{1}{3 \sqrt 2}e^{-2t}sen(\sqrt 2\,t)=\\&\\&\frac 16-\frac 16e^{-2t}\cos(\sqrt 2\,t) - \frac{\sqrt 2}{6}e^{-2t}sen(\sqrt 2\,t)=\\&\\&\frac {1-e^{-2t}\left(\cos(\sqrt 2\,t)+\sqrt 2 sen(\sqrt 2\,t)  \right)}{6}\\&\end{align}$$

Y eso es todo.