Mínimos cuadrados de una función trigonométrica
Calcular a, b y c por el método de mínimos cuadrados, para ajustar al modelo
a)Y=a+bsen(x+c); con a, b c pertenece a R y C pertenece (0 ,2pi)
b) y=a +bcos(x)+csen(x). Mismos datos que el ejercicio anterior
Intentaré con el ejercicio a) el de la imagen, aunque no estoy seguro si es correcto llamar al método de resolución que usaré "mínimos cuadrados"
$$\begin{align}&\text{Planteando las ecuaciones}\\&1 = a + b\ sen(-\pi/2 + c)\\&0 = a + b\ sen(0 + c) \to 0 = a + b \ sen(c)\\&1/2 = a + b\ sen(\pi/2 + c)\\&1 = a + b\ sen(\pi + c)\\&\\&Restando\ las\ ecuaciones\ 1\ y\ 4\\&0 = b\ sen(-\pi/2 + c) - b\ sen(\pi + c)\\&0 = b\ (sen(-\pi/2 + c) - sen(\pi + c))\\&Sabiendo\ que\ sen(a+b) = sen(a)\cos(b) + sen(b)\cos(a)...\\&0 = b\ (sen(-\pi/2)\cos(c)+sen(c)\cos(-\pi/2) - sen(\pi)\cos(c)-sen(c)\cos(\pi))\\&Simplificamos\ los\ datos\ conocidos...\\&0 = b\ (-\cos(c)+sen(c)))\\&\text{De lo anterior se deduce}\\&(b=0) \lor (sen(c)-\cos(c)=0)\\&Si \ sen(c) = \cos(c) \to c=\pi/4\\&\text{O sea que hasta ahora tenemos como opciones b=0 o c=}\pi/4\\&\text{Voy a reescribir las ecuaciones, suponiendo que b=0}\\&1 = a \\&0 = a \\&1/2 = a \\&1 = a \\&\text{Obviamente a no puede tomar esos valores distintos simultaneamente o sea que b=0 se descarta, veré ahora si c=}\pi/4\\&1 = a + b\ sen(-\pi/2 + \pi/4)\\&0 = a + b \ sen(\pi/4)\\&1/2 = a + b\ sen(\pi/2 + \pi/4)\\&1 = a + b\ sen(\pi + \pi/4)\\&\text{calculo todos los valores del seno}\\&1 = a + b\ sen(-\pi/4) \to 1 = a - b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&0 = a + b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&1/2 = a + b\ sen(3/4\ \pi ) \to 1/2 = a+b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&1 = a + b\ sen(5/4 \ \pi) \to 1 = a - b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&\text{La primer y cuarta ecuación son iguales, luego las ecuaciones que quedan son:}\\&1 = a - b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&0 = a + b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&1/2 = a+b \frac{\sqrt{2}}{2}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$y hasta ahí lo tengo que dejar por falta de tiempo..como las últimas ecuaciones 2 y 3 tienen la misma expresión en la parte derecha, es obvio que habrá que interpolar (y ahí entiendo lo de mínimos cuadrados), ya que no se puede tener ningún valor exacto que cumpla ambas expresiones simultáneamente...
Hola! Gracias por tu respuesta.
Te dejo otra opción...
$$\begin{align}&g(x) = \sum _{i=1}^{4}(y(x)-f(x))^2\\&\text{Donde f(x) sale de la tabla e y(x) es la expresión o al revés, llegando a:}\\&g(x) = (1-a-b\ sen(-\pi/2 + c))^2 + (0 - a - b\ sen(c))^2+(1/2 - a - b\ sen(\pi/2+c))^2 + (1-a-b\ sen(\pi + c))^2\\&Acomodando\ un\ poco\ los\ datos\\&g(x) = (1-a-b\ sen(-\pi/2 + c)^2 + ( - a - b\ sen(c))^2+(1/2 - a - b\ sen(\pi/2+c))^2 + (1-a-b\ sen(\pi + c))^2\\&g(x) = 1+a^2+b^2 sen^2(-\pi/2 + c)+2ab\ sen(-\pi/2 + c) - 2a - 2b\ sen(-\pi/2 + c)+\\&+ a^2+2ab\ sen(c)+b^2\ sen^2(c)+\\&+1/4+a^2+b^2\ sen^2(\pi/2 + c)+ab\ sen(\pi/2 + c)^2 - a - b\ sen(\pi/2 + c)^2 + \\&+ 1+a^2+b^2 sen^2(\pi + c)+2ab\ sen(\pi + c)^2 - 2a - 2b\ sen(\pi + c)^2\\&g(x) = 2.25 +4a^2+b^2 sen^2(-\pi/2 + c)+2ab\ sen(-\pi/2 + c) - 5a - 2b\ sen(-\pi/2 + c)+\\&+2ab\ sen(c)+b^2\ sen^2(c)+\\&+b^2\ sen^2(\pi/2 + c)+ab\ sen(\pi/2 + c) - b\ sen(\pi/2 + c) + \\&+b^2 sen^2(\pi + c)+2ab\ sen(\pi + c) - 2b\ sen (\pi + c)\\&Nuevamente, \ sabiendo \ que\ sen(a+b)=sen(a)\cos(b)+ sen(b)\cos(a)...\\&\text{Voy a hacer más de un paso y simplificar lo que pueda}\\&g(x) = 2.25 +4a^2-b^2 \cos^2(c)-2ab\ \cos(c) - 5a + 2b\ \cos(c)+2ab\ sen(c)+b^2\ sen^2(c)+\\&+b^2\ \cos^2(c)+ab\ \cos(c) - b\ \cos(c) -b^2 sen^2(c)-2ab\ sen(c) + 2b\ sen(c)\\&\text{Y ahora derivamos g, respecto a a, b, c e igualamos a cero}\\&\frac{dg(x)}{da}=8a-2b\ \cos(c) - 5+2b\ sen(c)+b\ \cos(c) -2b\ sen(c)\\&\frac{dg(x)}{db}=-2b \cos^2(c)-2a\ \cos(c) + 2\ \cos(c)+2a\ sen(c)+2b\ sen^2(c)+\\&+2b\ \cos^2(c)+a\ \cos(c) - \ \cos(c) -2b sen^2(c)-2a\ sen(c) + 2\ sen(c)\\&\frac{dg(x)}{dc}=2b^2 \cos(c)sen(c)+2ab\ sen(c) - 2b\ sen(c)+2ab\ \cos(c)+2b^2\ sen(c)\cos(c)+\\&-2b^2\ \cos(c)sen(c)-ab\ sen(c) + b\ sen(c) -2b^2 sen(c)\cos(c)-2ab\ \cos(c) + 2b\ \cos(c)\end{align}$$Quedaría verificar los cálculos (son demasiados y con esta herramienta hay muchos riesgos de haber metido mal algún dedo) y ver si se puede deducir algo de las últimas 3 ecuaciones, ya que tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas (aunque son ecuaciones trigonométricas, así que puede no ser sencillo el resultado)
Hola! Otra vez gracias por tu respuesta pero seria mejor si fuera aplicando mínimos cuadrados. Saludos!
Esta segunda opción es usando mínimos cuadrados, lo único que no aproxima por una función lineal, sino que la función que busca minimizar los errores es la función que te dieron (y de la cual tenés que hallar los parámetros a, b, c)