Como se resuelve esta integral

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Imagino que quieres decir

$$\begin{align}&\int \frac{2u}{1+u}du\end{align}$$

Para resolver las integrales racionales el grado del numerador dee ser menor que el del denominador.  En este caso son iguales y eso no sirve.  Hay que hacer la división de polinomios de tal forma que quede de esta forma

$$\begin{align}&\frac{D}{d}= c + \frac{r}{d}\\&\\&donde\\&D=dividendo\\&d=divisor\\&c=cociente\\&r=resto\end{align}$$

Para una división tan sencilla como esta no vamos a montar el tenderete de hacer divisiones que además es bastante engorroso de escribir aquí.

El cociente está claro que es 2 ya que divides 2u entre u, luego e resto es

r=2u - 2(1+u) = 2u -2 -2u = -2

por lo cual la integral es:

$$\begin{align}&\int \frac{2u}{1+u}du= \int\left(2 -\frac{2}{1+u} \right)du=\\&\\&2u -2ln|1+u|+C\end{align}$$

Y eso es todo.