¿Resolución de Problema de geometría Analítica?

$$\begin{align}& \end{align}$$

Veamos primero una imagen de los puntos en cuestión, y después intentemos analizar lo que están pidiendo

Y ahora analicemos un poco

$$\begin{align}&A=(4,3)\\&B=(2,7)\\&C=(x,y)\\&D=(-3,-8)\\&\text{y debemos calcular (x,y) que equidista de A,B,D}\\&Primero\ definimos\ las\ distancias\ como\\&d_{AC}=|A-C|=\sqrt{(4-x)^2+(3-y)^2}\\&d_{BC}=|B-C|=\sqrt{(2-x)^2+(7-y)^2}\\&d_{DC}=|D-C|=\sqrt{(-3-x)^2+(-8-y)^2}\\&y\ necesitamos\ que\\&d_{AC}=d_{BC}=d_{DC}\\&\text{Podemos eliminar las raices, quedando}\\&{(4-x)^2+(3-y)^2}={(2-x)^2+(7-y)^2}={(-3-x)^2+(-8-y)^2}\\&Calculando...\\&16-8x+x^2+9-6y+y^2=4-4x+x^2+49-14y+y^2=9+6x+x^2+64+16y+y^2\\&Acomodo...\\&25-8x+x^2-6y+y^2=53-4x+x^2-14y+y^2=73+6x+x^2+16y+y^2\\&Quedando...\\&25-8x+x^2-6y+y^2=53-4x+x^2-14y+y^2\\&53-4x+x^2-14y+y^2=73+6x+x^2+16y+y^2\\&25-8x+x^2-6y+y^2=73+6x+x^2+16y+y^2\\&\text{El problema es que son ecuaciones no lineales, pero veamos si llegamos a algo...}\\&\text{Reacomodo las 3 ecuaciones}\\&-4x+8y=28 \to -x+2y=7...............(1)\\&-10x-30y=20 \to -x-3y=2...........(2)\\&-14x-22y=48 \to -7x-11y=24......(3)\\&Restando\ (1)-(2)\\&5y=5 \to y=1\\&Reemplazo\ en (1)\\&-x+2\cdot 1 = 7\\&-x=5 \to x=-5\\&Veamos\ si\ cumple\ (2)\ y\ (3)\\&(2)\\&-(-5)-3\cdot1=5-3=2 \to Cumple\\&(3)\\&-7\cdot(-5)-11\cdot 1= 35-11=24 \to Cumple\\&\therefore \\&C=(-5,1)\\&\end{align}$$

Que es lo que tenés como solución!