¿Se puede resolver esta ecuación usando la fórmula resolvente?
Se puede resolver esta ecuación con complejos usando la resolvente
$$\begin{align}&\frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}$$La ecuacion en cuestion es esta :
$$\begin{align}&x^2-(2+i)x+(1+i)=0\end{align}$$De que otra forma podria encontrar sus raices?
2 Respuestas
Sí puedes
$$\begin{align}&\text{Usando lá fórmula para calcular raíces de segundo grado, tenemos:}\\&\\&datos:\\&\\&a=1\\&b=-(2+i)\\&c=1+i\\&\\&\text{sustituyendo en la fórmula:}\\&\\&\frac{-(-(2+i))+-\sqrt{(-(2+i))^2-4(1)(1+i)}}{2(1)}\ \ \ \ desarrollamos:\\&\\&\frac{(2+i)+-\sqrt{4+4i+i^2-4-4i}}{2}\\&\\&\frac{2+i+-\sqrt{i^2}}{2}\ \ \ \ \ sabemos\ que:\ \ i^2=-1\\&\\&entonces\ las\ raíces\ serán:\\&\\&x_{1}=\frac{2+i+\sqrt{i^2}}{2}=\frac{2+i+i}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i\\&\\&x_{2}=\frac{2+i-\sqrt{i^2}}{2}=\frac{2+i-i}{2}=\frac{2}{2}=1\\&\\&\end{align}$$$$\begin{align}&\text{podemos comprobar:}\\&\\&\text{sustituimos x1 en la ecuación para comprobar que da cero como resultado:}\\&\\&(1+i)^2-(2+i)(1+i)+1+i\ \ =\ \ 1+2i+i^2-2-2i-i+1+1+i\ \ =\ \ 2i-2i+1-1+2-2+i-i\ \ =0\\&\\&\text{Como podemos ver se hace cero , luego, x1 es raíz}\\&\\&\\&\\&\text{Para x2:}\\&\\&(1)^2-(2+i)(1)+(1+i)\ \ =\ \ 1-2-i+1+i=0\\&\\&\text{Luego x2 también es raíz}\\&\\&\end{align}$$¡Listo!
Cualquier duda, me lo dices :D
Este problema tenía la "particularidad" que el discriminante de la resolvente (el término que está dentro de la raíz) daba solo términos que tenían factores imaginarios y la respuesta te la respondió perfectamente Yuri sunntag . En caso que el discriminante hubiese quedado con factores reales e imaginarios, también podes resolverlo y para eso deberías apelar a la siguiente fórmula
$$\begin{align}&Sea\ z\ complejo\ (z=a+ib)\\&Entonces\\&\sqrt[n]{z}= A(\cos (\alpha) + i \sin(\alpha))\\&Donde\\&A=\sqrt[n]{|z|}\\&\alpha=\frac{\pi}{n}+\frac{2 \cdot k \cdot\ \pi}{n} \text{ (para k=0, 1, 2, ...n-1)}\\&\\&Ejemplo: Calcular \sqrt{z},\ siendo\ z = 1 + i\\&A=\sqrt[2]{|1+i|}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2\\&\alpha=\frac{\pi}{2}+\frac{2 \cdot k \cdot\ \pi}{2} \text{ (para k=0, 1)}\\&k=0 \to \alpha=\frac{\pi}{2}\ (....90°)\\&k=1 \to \alpha=\frac{\pi}{2}+\frac{2 \cdot 1 \cdot\ \pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}\ (...270°)\\&\text{O sea que las soluciones son:}\\&w_1=\sqrt 2 (\cos(90°) + i \sin(90°)) = i \sqrt 2\\&w_2=\sqrt 2 (\cos(270°) + i \sin(270°)) = -i \sqrt 2\\&O\ sea\\&w_{1,2}= \pm i \sqrt 2\end{align}$$
Disculpa pero cometí un "dedazo" en la fórmula. La expresión correcta sería
$$\begin{align}&Sea\ z\ complejo\ (z=a+ib)\\&Entonces\\&\sqrt[n]{z}= A(\cos (\alpha) + i \sin(\alpha))\\&Donde\\&A=\sqrt[n]{|z|}\\&\text{En lo que sigue está el error}\\&\alpha=\frac{\alpha'}{n}+\frac{2 \cdot k \cdot\ \pi}{n} \text{ (donde }\alpha' \text{ es el arg(z), para k=0, 1, 2, ...n-1)}\\&\alpha \text{ también lo podemos expresar como}\\&\alpha=\frac{\alpha'+2 \cdot k \cdot\ \pi}{n} =\frac{\alpha'+k \cdot\ 360°}{n} \text{ (Dependiendo si los ángulos los tenemos en grados o en radianes)}\\&Ejemplo: Calcular \sqrt{z},\ siendo\ z = 1 + i\\&A=\sqrt[2]{|1+i|}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2\\&\text{vemos "fácilmente" que } \alpha'=45°\\&\alpha=\frac{45°+2 \cdot k \cdot\ 360°}{2} \text{ (para k=0, 1)}\\&k=0 \to \alpha=\frac{45°+ 0 \cdot\ 360°}{2}=22°30'\\&k=1 \to \alpha=\frac{45°+ 1 \cdot\ 360°}{2}=202°30'\\&\text{O sea que las soluciones son:}\\&w_1=\sqrt 2 (\cos(22°30') + i \sin(22°30')) = 0.9238795 + i \ 0.3826834\\&w_2=\sqrt 2 (\cos(202°30') + i \sin(202°30')) = -0.9238795 - i \ 0.3826834\end{align}$$
Y como podría aplicar esa fórmula en la ecuación
x2−(2+i)x+(1+i)=0
¿
Tendría que despejar x?
Es que en realidad lo que yo te pasé se una en la parte de la ecuación que dice
Raiz (b^2 -4ac)
Donde a, b, c pueden llegar a ser números complejos
Si todo eso te queda un real puro ya está, si te queda un complejo puro (como en el ejemplo) también está, el tema es que ese valor podría llegar a darte un complejo con parte real e imaginaria y en ese caso deberías usar lo que yo te pasé para calcular cuanto vale esa raíz cuadrada